子数列和原数列的敛散性

大一新生

请问该怎么证明下面的命题？
若已知一个子数列发散，则原数列发散。

hbghlyj

若数列收敛，则子数列收敛。
证明
设 $U \in \tau$ 为 $l$ 的开邻域.
由拓扑中$\set{x_n}$收敛的定义, $\exists N \inN: \forall n > N: x_n \in U$.
当$r > N$, 我们有 $n_r > n_N > N$, 所以$\exists N \inN: \forall r > N: x_{n_r} \in U$.
因为 $U$ 是任意的, 我们证明了 $l$ 为 $\set{x_{n_r} }$ 的极限. QED.

Limit of Subsequence equals Limit of Sequence