n元不等式一道

dahool

设$a_i$为非负实数，且满足$\sum_{i=1}^{n}x_i=1$，求证：对任意的$k\in(0,\frac{1}{2}]$有$$\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{1-x_i})^k\geqslant 2$$

kuing

只需证明菊部不等式\[\left( \frac{x_i}{1-x_i} \right)^k\geqslant\frac{2x_i^{2k}}{x_1^{2k}+x_2^{2k}+\cdots+x_n^{2k}},\]即\[x_1^{2k}+x_2^{2k}+\cdots+x_n^{2k}\geqslant2x_i^k(1-x_i)^k,\]由均值可知只需证\[x_1^{2k}+x_2^{2k}+\cdots+x_n^{2k}\geqslant x_i^{2k}+(1-x_i)^{2k},\]即\[x_1^{2k}+\cdots+x_{i-1}^{2k}+x_{i+1}^{2k}+\cdots+x_n^{2k}\geqslant(x_1+\cdots+x_{i-1}+x_{i+1}+\cdots+x_n)^{2k},\]由 `0<2k\leqslant1` 可知上式成立，即得证。

dahool

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感谢，现在对这种不是均值取等的n元不等式，感觉很没想法，很抓狂

dahool

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最后一步是很显然成立嘛，我有点没想明白怎么处理！

色k

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最后一步是很显然成立嘛，我有点没想明白怎么处理！
dahool 发表于 2018-8-29 08:24

你之前这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=5350 白发了嘛？

dahool

回复 5# 色k

，惭愧！

dahool

回复 5# 色k


哎，就是这么优秀，不会的现在也还没会！没理解好！