一道一阶非线性常微分方程组的两种解法

青青子衿

分别利用首次积分法(First Integral)和变量替换法(Variable substitution)求解常微分方程组：
\begin{cases}
\displaystyle\frac{{\rm\,d}x}{{\rm\,d}t}=\frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}\\
\displaystyle\frac{{\rm\,d}y}{{\rm\,d}t}=\frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}\\
\end{cases}

kuing

题目看不懂，只说说代码，作为开头，d 前无需 \,
在本论坛建议使用本论坛自定义的 \rmd ，间距自动处理：$\boxed{\rmd x}$ and $\boxed{x\rmd x}$（当 d 前面有东西才会产生小间距
另外还有 \led ... \endled 的左大括号，是用 aligned 定义的，所以里面就可以不用 \displaystyle

1. \[\led
2. \frac{\rmd x}{\rmd t} &= \frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}\\
3. \frac{\rmd y}{\rmd t} &= \frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}
4. \endled\]

复制代码

\[\led
\frac{\rmd x}{\rmd t} &= \frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}\\
\frac{\rmd y}{\rmd t} &= \frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}
\endled\]
当然了，如果你是准备一帖发多地，或者是需要放入自己的 tex 文档中的话，那可以无视本帖

青青子衿

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分别利用首次积分法(First Integral)和变量替换法(Variable substitution)求解常微分方程组：
\begin{cases}
\displaystyle\frac{{\rm\,d}x}{{\rm\,d}t}=\frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}\\
\displaystyle\frac{{\rm\,d}y}{{\rm\,d}t}=\frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}\\
\end{cases}
青青子衿 发表于 2018-9-22 14:29

解法一（首次积分法）：
将原方程组写成对称形式
\[\begin{cases}
\displaystyle\frac{{\rm\,d}x}{{\rm\,d}t}=\frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}\\
\displaystyle\frac{{\rm\,d}y}{{\rm\,d}t}=\frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}\\
\end{cases}\Leftrightarrow\frac{{\rm\,d}t}{t^2-x^2-y^2}=\frac{{\rm\,d}x}{2tx}=\frac{{\rm\,d}y}{2ty}\]
解不含\({\rm\,d}t\)项的常微分方程，得到一个首次积分\(x=C_1y\)
\begin{align*}
\frac{{\rm\,d}x}{x}&=\frac{{\rm\,d}y}{y}\\
\int \frac{{\rm\,d}x}{x}&=\int\frac{{\rm\,d}y}{y}\\
\ln x&=\ln y+\ln C_1\\
x&=C_1y
\end{align*}
将对称式方程的第一项分子分母同时乘\(t\)，将对称式方程的第二项分子分母同时乘\(x\)，将对称式方程的第三项分子分母同时乘\(y\)
利用合比性质变形，两边同时积分得到另一个首次积分\(x=C_2(t^2+x^2+y^2)\)
\begin{align*}
\frac{{\rm\,d}x}{2tx}&=\frac{{\rm\,d}t}{t^2-x^2-y^2}\\
&=\frac{t{\rm\,d}t+x{\rm\,d}x+y{\rm\,d}y}{t(t^2-x^2-y^2)+2tx^2+2ty^2}\\
&=\frac{t{\rm\,d}t+x{\rm\,d}x+y{\rm\,d}y}{t(t^2+x^2+y^2)}\\
\frac{{\rm\,d}x}{2x}&=\frac{t{\rm\,d}t+x{\rm\,d}x+y{\rm\,d}y}{t^2+x^2+y^2}\\
\frac{{\rm\,d}x}{x}&=\frac{2t{\rm\,d}t+2x{\rm\,d}x+2y{\rm\,d}y}{t^2+x^2+y^2}\\
\int\frac{{\rm\,d}x}{x}&=\int\frac{{\rm\,d}(t^2+x^2+y^2)}{t^2+x^2+y^2}\\
\ln x&=\ln(t^2+x^2+y^2)+\ln C_2\\
x&=C_2(t^2+x^2+y^2)
\end{align*}
于是，得到解：
\begin{cases}
x=C_1y\\
x=C_2(t^2+x^2+y^2)
\end{cases}

青青子衿

回复 1# 青青子衿

分别利用首次积分法(First Integral)和变量替换法(Variable substitution)求解常微分方程组：
\begin{cases}
\displaystyle\frac{{\rm\,d}x}{{\rm\,d}t}=\frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}\\
\displaystyle\frac{{\rm\,d}y}{{\rm\,d}t}=\frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}\\
\end{cases}
青青子衿 发表于 2018-9-22 14:29

解法二（变量替换法）：
将原方程组变形得出不含\({\rm\,d}t\)与\(t\)的微分方程
\[ \begin{cases}  
\displaystyle\frac{{\rm\,d}x}{{\rm\,d}t}=\frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}\\  
\displaystyle\frac{{\rm\,d}y}{{\rm\,d}t}=\frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}\\  
\end{cases}\Leftrightarrow\frac{{\rm\,d}y}{{\rm\,d}x}=\frac{y}{x} \]
解不含\({\rm\,d}t\)与\(t\)项的常微分方程，得到一个首次积分\(x=C_1y\)
\begin{align*}
\frac{{\rm\,d}x}{x}&=\frac{{\rm\,d}y}{y}\\
\int \frac{{\rm\,d}x}{x}&=\int\frac{{\rm\,d}y}{y}\\
\ln x&=\ln y+\ln C_1\\
x&=C_1y
\end{align*}
构造一个变量\(u(\,t\,)=x^2+y^2\)，则
\begin{align*}
\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}&=2x\frac{{\rm\,d}x}{{\rm\,d}t}+2y\frac{{\rm\,d}y}{{\rm\,d}t} \\
&=2x\cdot\frac{2tx}{t^2-x^2-y^2}+2y\cdot\frac{2ty}{t^2-x^2-y^2}\\
&=\frac{4tx^2}{t^2-x^2-y^2}+\frac{4ty^2}{t^2-x^2-y^2}\\
&=\frac{4t(x^2+y^2)}{t^2-(x^2+y^2)}=\frac{4tu}{t^2-u}=\frac{-4tu}{u-t^2}\\
\end{align*}
于是，得到一个一阶微分方程：
\[(u-t^2)\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}+4tu=0\]
等式两边同时除以\(u+t^2\)，变形后积分：
\begin{align*}
\frac{u-t^2}{u+t^2}\left(\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}\right)+\frac{4tu}{u+t^2}&=0\\
\frac{2u-u-t^2}{u+t^2}\left(\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}\right)+\frac{4tu}{u+t^2}&=0\\
\frac{2u}{u+t^2}\left(\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}\right)+\frac{4tu}{u+t^2}&=\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}\\
\frac{2u}{u+t^2}\left(\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}+2t\right)&=\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}\\
\frac{2}{u+t^2}\frac{{\rm\,d}}{{\rm\,d}t}\left(u+t^2\right)&=\frac{1}{u}\cdot\frac{{\rm\,d}u}{{\rm\,d}t}\\
\frac{2{\rm\,d}\left(u+t^2\right)}{u+t^2}&=\frac{{\rm\,d}u}{u}\\
2\int\frac{{\rm\,d}\left(u+t^2\right)}{u+t^2}&=\int\frac{{\rm\,d}u}{u}\\
2\ln\left(u+t^2\right)&=\ln u+\ln C_3\\
\left(u+t^2\right)^2&=C_3u
\end{align*}将变量还原得到另一个关系式：
\[ \left(x^2+y^2+t^2\right)^2=C_3\left(x^2+y^2\right) \]
于是，得到解：
\begin{cases}
x=C_1y\\
\left(x^2+y^2+t^2\right)^2=C_3\left(x^2+y^2\right)
\end{cases}