常见而又不寻常的数列小题

史嘉

已知$a_n=2^n,b_n=3n+2$，则$a_n$与$b_n$相同的项按照从小到大的顺序组成新数列$c_n$，求$c_n$的通项公式。

kuing

跟以前做过的这个很像 kkkkuingggg.haotui.com/thread-1262-1-1.html

史嘉

都是一次的，基本见到的；
如此的，只有竞赛上有吧。
试试。
谢谢！好记忆力！

史嘉

回复 2# kuing

假设 am=bn⟺3m−2=n2。




设 k∈N，若 n=3k+1，代入解得 m=3k2+2k+1∈N+；若 n=3k+2，代入解得 m=3k2+4k+2∈N+；若 n=3k+3，代入解得 m=3(k+1)2+2/3∉N+。




由此可见，相同项构成的新数列为不被 3 整除的正整数的平方，即 {12,22,42,52,72,82,102,112,…}，
容易写出其通项公式为
cn={(3k−2)2,(3k−1)2,n=2k−1,n=2k.

史嘉

咦，复制粘贴过来，就不行了。

还是请大K出手吧，做的不顺利。

kuing

已知$a_n=2^n,b_n=3n+2$，则$a_n$与$b_n$相同的项按照从小到大的顺序组成新数列$c_n$，求$c_n$的通项公式。 ...
史嘉 发表于 2013-10-29 21:28

仿着那个题做就行了，假设 $a_m=b_n$，即 $2^m=3n+2$，显然应有 $m>2$，移项得 $2(2^{m-1}-1)=3n$，故此方程有解当且仅当 $3\mid2^{m-1}-1$。下设 $k\in\Bbb N^+$，则
（1）若 $m=2k+2$，则
\[2^{m-1}-1=2^{2k+1}-1=2\cdot(3+1)^k-1\equiv 2\cdot1-1=1\pmod3 \riff 3\nmid2^{m-1}-1;\]
（2）若 $m=2k+1$，则
\[2^{m-1}-1=2^{2k}-1=(3+1)^k-1\equiv1-1=0\pmod3 \riff 3\mid2^{m-1}-1.\]
由此可见，当且仅当 $m$ 为大于 $2$ 的奇数时存在 $a_m=b_n$，所以 $c_n$ 就是 $\{2^3,2^5,2^7,\ldots\}$，容易写出它的通项公式为
\[c_n=2^{2n+1}.\]

史嘉

回复 6# kuing
辛苦了，谢谢！
我的变形思路不对头。

其妙

换汤不换药：
必要性：当$2(2^{m-1}-1)=3n$时，$3\mid2^{m-1}-1$，故$2^{m-1}-1\equiv(-1)^{m-1}-1=0\pmod3 \riff m-1=2k$，$k\in N_+$.
充分性：当$m-1=2k$时，kk已证。

史嘉

回复 8# 其妙


    妙！