级数代入，求过程。

业余的业余

有本教材上有这样一个结论:


$\sin x=x-\cfrac {x^3}{3!}+\cfrac {x^5}{5!}-\cfrac {x^7}{7!}+\cdots$

$e^x=1+x+\cfrac {x^2}{2!}++\cfrac {x^3}{3!}+\cdots$

把 $\sin x $ 的麦克劳林展开式，代入 $e^x$ 的麦克劳林展开式，得出 $e^{\sin x}$ 的 幂级数

$e^{\sin x}=1+x+\cfrac {x^2}{2!}-\cfrac {3x^3}{4!}-\cfrac{8x^5}{5!}+\cdots$


这个代入的过程为何？

战巡

回复 1# 业余的业余

为何？这个因为这个结果是错的

带入的话逐项展开就行了
\[e^{\sin(x)}=1+\sin(x)+\frac{\sin(x)^2}{2!}+\frac{\sin(x)^3}{3!}+...\]
\[=1+(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...)+\frac{1}{2!}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...)^2+\frac{1}{3!}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...)^3+\frac{1}{4!}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...)^4+...\]
\[=1+(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...)+\frac{1}{2!}(x^2-\frac{2x^4}{3!}+...)+\frac{1}{3!}(x^3-\frac{3x^5}{3!}+...)+\frac{1}{4!}(x^4+...)+\frac{1}{5!}(x^5+...)...\]
\[=1+x+\frac{x^2}{2!}-(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!})x^4+(\frac{1}{5!}-\frac{3}{3!·3!}+\frac{1}{5!})x^5+...\]
\[=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^5}{15}+...\]

业余的业余

明白了，谢谢！ 我估计它是用二项（推广到多项，比较繁琐，因为交叉相乘会有很多同类项要合并)展开的，不确定。谢谢你的确认。