级数问题。难道又是题错了？

业余的业余

Identify the series

$\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n-1)!}$,

and then, by integration and differentiation, deduce the values S of the following series:
(a) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}n^2}{(2n)!}$
(b) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}n}{(2n+1)!}$
(c) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n+1}n\pi^{2n}}{4^n(2n-1)!}$
(d) $\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n}(n+1)}{(2n)!}$

那个级数容易看出是 $x\sin x$, 可是怎样通过微分和积分与后面的各个小问题联系起来，一点头绪都没有。

战巡

回复 1# 业余的业余

令
\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n-1)!}=x\sin(x)\]

a、
\[g(x)=\int_0^x\frac{f(t)}{t}dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}\]
令$x=e^y$
\[g(e^y)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}e^{2ny}}{(2n)!}\]
\[h(y)=\frac{d^2}{dy^2}g(e^y)=4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}n^2e^{2ny}}{(2n)!}\]
\[h(0)=4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}n^2}{(2n)!}\]

b、
\[g_2(x)=\int_0^xg(t)dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
\[\frac{g_2(e^y)}{e^y}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}e^{2ny}}{(2n+1)!}\]
\[h_2(y)=\frac{d}{dy}\frac{g_2(e^y)}{e^y}=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}ne^{2ny}}{(2n+1)!}\]
\[h_2(0)=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}n}{(2n+1)!}\]

以下类推

业余的业余

回复 2# 战巡

太感谢了。又快又好！

hbghlyj

c、$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n-1)!}=x\sin(x)$
Plugging in $x=e^y$,\[f(e^y)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}e^{2ny}}{(2n-1)!}\]
\[\frac d{dy}f(e^y)=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}ne^{2ny}}{(2n-1)!}= e^y (\sin(e^y) + e^y\cos(e^y))\]
Plugging in $y=\ln\frac\pi2$, dividing by 2,
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n\pi^{2n}}{4^n(2n-1)!}=\frac\pi4\]
d、\[g(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}=\sin x-x\cos x\]
\[g(x)x^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{(2n)!}=(\sin x-x\cos x)x^2\]
\[g(e^y)e^{2y}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}e^{(2n+2)y}}{(2n)!}=(\sin e^y-e^y\cos e^y)e^{2y}\]
\[h(y)=\frac{d}{dy}[g(e^y)e^{2y}]=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}(n+1)e^{2ny}}{(2n)!}\]
\[-\frac12h(0)=\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n}(n+1)}{(2n)!}={3 - \cos1 - 2\sin1+ \ln(-\cos e) \over2}\]

hbghlyj

d、我一定是计算错误
WolframAlpha
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)}{(2n)!}= -1 - \sin(1)/2 +\cos(1)\]