一道化学解析几何题

amoy1

图为理想状况下[CO_3^{2-}]、[HCO_3^-]、[H_2CO_3]分布系数与pH关系的曲线图。
试问：当α[H_2CO_3]=α[CO_3^{2-}]时，与α[HCO_3^-]最大时相比，pH值是否相同？

Czhang271828

这是一道简单而有趣的题目，个人认为能给分析化学学科带来启发（实际上，可能已有相关定理），毕竟找交点比找极值点容易得多；同时能给高考化学命题带来新模型，但不知实际情况如何。暂且就题论题：

抄题：同一温度下，设水溶液中含碳微粒仅有碳酸（$H_2CO_3$）、碳酸氢根（$HCO_3^-$）和碳酸根（$CO_3^{2-}$）。三种微粒相对占比与溶液pH值关系如图所示，记作$\alpha(CO_3^{2-})$、$\alpha(HCO_3^-)$、$\alpha(H_2CO_3)$（总和为$1$）。

试证明：$\alpha(CO_3^{2-})=\alpha(H_2CO_3)\Leftrightarrow \alpha(HCO_3^-)$取最大值。


证明：据电离平衡常数公式，设$w$为$H^+$离子较含碳微粒的相对数量，则存在常数$a$，$b$使得：

\[\left\{\begin{align*}
\dfrac{w\cdot\alpha(HCO_3^-)}{\alpha(H_2CO_3)}=&a\\
\dfrac{w\cdot\alpha(CO_3^{2-})}{\alpha(HCO_3^-)}=&b\\
\end{align*}\right.\]

由$\alpha(CO_3^{2-})+\alpha(HCO_3^-)+\alpha(H_2CO_3)=1$得：
\[
\left(\dfrac{w}{a}+1+\dfrac{b}{w}\right)\cdot\alpha(HCO_3^-)=1
\]
故当$\alpha(HCO_3^-)$取最值时，$ab=w^2$，即$\dfrac{\alpha(H_2CO_3)}{\alpha(CO_3^{2-})}=1$。