一道拉格朗日乘数法的小菜，估计有不等式妙解

业余的业余

求 $ f(x,y,z)=\sum_{cyc} xy$ 的最大值，满足约束条件 $x^2+3y^2+3z^2=1$ 且 $x,y,z >0$.

kuing

有两个系数相同，那是很简单的，直接目测凑均值都行：`(0.5x^2+2y^2)+(0.5x^2+2z^2)+(y^2+z^2)\ge2f`。

如果三个系数都不同，那凑均值就需要待定系数计算一下了，最终需要解三次方程，反正早就被玩烂了……
see also: forum.php?mod=viewthread&tid=5462

业余的业余

回复 2# kuing

这么简单？

其妙

先拉一下，再配方：
因为$xy+yz+zx-\dfrac12(x^2+3y^2+3z^2)=-(\dfrac12x-y)^2-(\dfrac12x-z)^2-\dfrac12(y-z)^2\leqslant0$，

所以，$xy+yz+zx\leqslant\dfrac12(x^2+3y^2+3z^2)=\dfrac12$.
等号能取到吧？没验证了。
要不，搞一下判别式也行。