斜率之和为定值

abababa

回复 20# isee

这几年跟人教论坛的maven网友学了不少射影几何方面的知识，几何的方法和代数的方法都有，不过现在最想学的还是那个坐标法，感觉威力强大，在解垂直、平行、共线、共点题时很管用，变推理为计算。10楼链接里我贴的证明也是他写的。

hejoseph

点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是非退化二次曲线 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 上的一定点，点 $B$、$C$ 是二次曲线 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 上的动点，直线 $AB$、$AC$ 的斜率和是 $t$，则直线 $BC$ 恒过定点
\[
\left(\frac{ctx_0-2cy_0-e}{b+ct},-\frac{\left(2a+bt\right)x_0+cty_0+d+et}{b+ct}\right)
\]

点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是非退化二次曲线 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 上的一定点，点 $B$、$C$ 是二次曲线 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 上的动点，直线 $AB$、$AC$ 的斜率乘积是 $t$，则直线 $BC$ 恒过定点
\[
\left(-\frac{\left(a+ct\right)x_0+by_0+d}{a-ct},\frac{btx_0+\left(a+ct\right)y_0+et}{a-ct}\right)
\]

上面的结论的直接推论：点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是非退化二次曲线 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 上的一定点，点 $B$、$C$ 是二次曲线 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 上的动点，直线 $AB\perp AC$，则直线 $BC$ 恒过定点
\[
\left(-\frac{\left(a-c\right)x_0+by_0+d}{a+c},-\frac{bx_0-\left(a-c\right)y_0+e}{a+c}\right)
\]

点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是二次曲线 $ax^2+by^2=1$（$ab\neq 0$）上的一定点，点 $B$、$C$ 是二次曲线 $ax^2+by^2=1$ 上的动点，$\tan\angle BAC=t$，则直线 $BC$ 与二次曲线
\begin{align*}
&a^2\left(\left(a-b\right)^2t^2x_0^2+4b\left(ax_0^2+by_0^2\right)\left(1+t^2\right)\right)x^2-2ab\left(a-b\right)^2t^2x_0y_0xy+b^2\left(\left(a-b\right)^2t^2y_0^2+4a\left(ax_0^2+by_0^2\right)\left(1+t^2\right)\right)y^2\\
&+2a\left(a^2-b^2\right)\left(ax_0^2+by_0^2\right)t^2x_0x-2b\left(a^2-b^2\right)\left(ax_0^2+by_0^2\right)t^2y_0y+\left((a-b)^2t^2-4ab\right)\left(ax_0^2+by_0^2\right)^2=0
\end{align*}
相切。

点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是抛物线 $x^2=2py$（$p\neq 0$）上的一定点，点 $B$、$C$ 是抛物线 $x^2=2py$ 上的动点，$\tan\angle BAC=t$，则直线 $BC$ 与二次曲线
\begin{align*}
&\left(t^2x_0^2+4p^2\left(1+t^2\right)\right)x^2+2pt^2x_0xy+p^2t^2y^2\\
&+2t^2\left(2p^2+x_0^2-py_0\right)x_0x+2p\left(2p^2\left(2+t^2\right)-t^2\left(x_0^2-py_0\right)\right)y\\
&+4p^3t^2\left(p+y_0\right)-4p^2\left(x_0^2-2py_0\right)+t^2\left(x_0^2-py_0\right)^2=0
\end{align*}
相切。

敬畏数学

回复 22# hejoseph
算功真要得！

isee

点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是非退化二次曲线 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 上的一定点，点 $B$、$C$ 是二次 ...
hejoseph 发表于 2019-3-8 22:20

何版又露面了，大手笔，感谢。

abababa

回复 24# isee
22楼的这个证明，其实和之前的一个题很相似：
forum.php?mod=viewthread&tid=2623&extra=&page=2

按那个题里的证明（不需要垂直，直接用交比$\frac{k_{PC_1}-k_{PA_1}}{k_{PC_2}-k_{PA_1}}:\frac{k_{PC_1}-k_{PB_1}}{k_{PC_2}-k_{PB_1}}$和$\frac{k_{PC_2}-k_{PA_2}}{k_{PC_1}-k_{PA_2}}:\frac{k_{PC_2}-k_{PB_2}}{k_{PC_1}-k_{PB_2}}$）就能得出斜率之积为定值时的过定点结论。而显然斜率之和为定值$k$时，代入这个式子，一样得到交比相等，所以两种情况都是过定点的，定点就是对合轴的极点。

hejoseph

回复 25# abababa


    那些结论不在于如何证明，而在于如何方便计算出结果，有了你所说的方法计算也并不一定方便的。从计算过程来看，如果两斜率分别为 $k_1$、$k_2$，则分子分母都是 $pk_1k_2+q\left(k_1+k_2\right)+r$（$p$、$q$、$r$ 都是常数）时时过定点的；其他情况时也可以很方便得到其包络曲线。

hejoseph

既然都不想计算，那就说说射影几何里的一些结论。
若二次点列的射影变换 $T$ 不是等价，但是 $T^2$ 是等价的，则称 $T$ 为对合变换。
由定义立即得，过二阶曲线上一定点作两直线，两直线的斜率和（积）或我上面说的分子分母的斜率形式为定值，一直线与二阶曲线交点变换到另一直线与与二阶曲线交点的变换显然就是对合变换。
对合变换的对应点的的切线的交点共线，这条线称为对合轴。
对合变换的对应点所在的直线共点。
显然，对合轴和上面那个点互为极线极点的关系。

利用上面的结论，再用同一法或反证法就能得到题目的结论，至于斜率和是什么值，可以直接利用我上面的结论直接解方程就能得到。

lemondian

回复 17# kuing
请教@kuing：当$PA\perp x$轴时,如何推出斜率之和为定值？没看懂这个地方，麻烦写写吧。谢谢！

kuing

回复 28# lemondian

与 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=6671&pid=34124 （9#）类似

hbghlyj

hejoseph 发表于 2019-3-8 15:20
点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是二次曲线 $ax^2+by^2=1$（$ab\neq 0$）上的一定点，点 $B$、$C$ 是二次曲线 $ax^2+by^2=1$ 上的动点，$\tan\angle BAC=t$，则直线 $BC$ 与二次曲线
\[\tag1\label1\begin{aligned}&a^2\left(\left(a-b\right)^2t^2x_0^2+4b\left(ax_0^2+by_0^2\right)\left(1+t^2\right)\right)x^2-2ab\left(a-b\right)^2t^2x_0y_0xy+b^2\left(\left(a-b\right)^2t^2y_0^2+4a\left(ax_0^2+by_0^2\right)\left(1+t^2\right)\right)y^2\\&+2a\left(a^2-b^2\right)\left(ax_0^2+by_0^2\right)t^2x_0x-2b\left(a^2-b^2\right)\left(ax_0^2+by_0^2\right)t^2y_0y+\left((a-b)^2t^2-4ab\right)\left(ax_0^2+by_0^2\right)^2=0\end{aligned}\]相切。

化简得
\[\tag2\label2
4 a b (t^2+1) (ax^2+by^2-1)+t^2((a - b) (a x x_0 - b y y_0)+a+b)^2=0\]用$ax_0^2+by_0^2=1$验证\eqref{1}$-$\eqref{2}

1. Factor[a^2((a-b)^2*t^2*x0^2+4*b*(a*x0^2+b*y0^2)(1+t^2))x^2-2*a*b (a-b)^2*t^2*x0*y0*x*y+b^2((a-b)^2*t^2*y0^2+4*a*(a*x0^2+b*y0^2)(1+t^2))y^2+2a(a^2-b^2)(a*x0^2+b*y0^2)t^2*x0*x-2b(a^2-b^2)(a*x0^2+b*y0^2)t^2*y0*y+((a-b)^2*t^2-4*a*b)(a*x0^2+b*y0^2)^2
2. -4a b(1+t^2)(a x^2+b y^2-1)-t^2((a-b)(a x x0 - b y y0)+a+b)^2]/.a x0^2+b y0^2->1

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hbghlyj

hejoseph 发表于 2019-3-8 15:20
点 $A\left(x_0,y_0\right)$ 是抛物线 $x^2=2py$（$p\neq 0$）上的一定点，点 $B$、$C$ 是抛物线 $x^2=2py$ 上的动点，$\tan\angle BAC=t$，则直线 $BC$ 与二次曲线
\begin{align*}
&\left(t^2x_0^2+4p^2\left(1+t^2\right)\right)x^2+2pt^2x_0xy+p^2t^2y^2\\
&+2t^2\left(2p^2+x_0^2-py_0\right)x_0x+2p\left(2p^2\left(2+t^2\right)-t^2\left(x_0^2-py_0\right)\right)y\\
&+4p^3t^2\left(p+y_0\right)-4p^2\left(x_0^2-2py_0\right)+t^2\left(x_0^2-py_0\right)^2=0
\end{align*}相切。

方程中$y$的系数缺少负号！应该是
\[\begin{aligned}
&\left(t^2x_0^2+4p^2\left(1+t^2\right)\right)x^2+2pt^2x_0xy+p^2t^2y^2\\
&+2t^2\left(2p^2+x_0^2-py_0\right)x_0x\color{red}-2p\left(2p^2\left(2+t^2\right)-t^2\left(x_0^2-py_0\right)\right)y\\
&+4p^3t^2\left(p+y_0\right)-4p^2\left(x_0^2-2py_0\right)+t^2\left(x_0^2-py_0\right)^2=0
\end{aligned}\tag3\label3\]

hbghlyj

化简得\[\tag4\label4
4 p^2 (t^2+1) (x^2-2 p y)+t^2 (2 p^2+p y+p y_0+x x_0)^2=0\]
用$x_0^2=2py_0$验证\eqref{3}$-$\eqref{4}

1. ((t^2 x0^2+4 p^2 (1+t^2)) x^2+2 p t^2 x0 x y+p^2 t^2 y^2+2 t^2 (2 p^2+x0^2-p y0) x0 x+2 p (-2 p^2 (2+t^2)+t^2 (x0^2-p y0)) y+4 p^3 t^2 (p+y0)-4 p^2 (x0^2-2 p y0)+t^2 (x0^2-p y0)^2)- 4p^2 (1+t^2)(x^2-2p y)-t^2 (2 p^2+ x x0+p y0+ p y)^2/.y0->x0^2/(2p)//Factor

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