来自人教群的一道集he题$\Bigl[\sqrt{(a^2+b^2)/2}\Bigr]$

kuing · 发表于 2013-11-1 01:57

题目：已知 $M\subseteq \mbb N^+$，若 $1\in M$, $2006\in M$, $2007\notin M$，且若 $a$, $b\in M$，则 $\Bigl[\sqrt{(a^2+b^2)/2}\Bigr]\in M$，求 $M$ 有多少个子集？

先证明，若 $a$, $b\in\mbb N^+$ 且 $b\geqslant a+2$，则必有
\[a<\left[\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\right]<b.\]
右边是显然的，而欲证左边只需证
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\geqslant a+1,\]
两边平方整理等价于
\[b^2\geqslant a^2+4a+2,\]
由 $b\geqslant a+2$ 知显然成立。
由此，我们足以断言 $M$ 中的所有正整数必定是连续的，所以 $M=\{1,2,\ldots,2006\}$。

realnumber · 发表于 2013-11-1 07:42

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 07:48 编辑 证得一样，$k\ge 1,t\ge 2$
\[\sqrt{\frac{k^2+(k+t)^2}{2}}\ge \frac{k+k+t}{2}\ge k+1\]
再反证法说明下没有大于2006的整数.
题目中$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$用算术平均，几何平均，...，界于a,b间的数替换，大概都可以的(也许太接近a或b的除外).

realnumber · 发表于 2013-11-1 07:57

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 08:05 编辑 这样会有例外吗？
问题改编下，M是自然数集N的子集,1,2013∈M,2014不是M的元素，又满足若$a,b\in M$，则[$\frac{a}{2}+\frac{b}{6}$]∈M，
求集合M的元素个数最少是几个.
似乎问题变得复杂了，比如2012可以不在M内，而且M内似乎有好几处地方不连续...，2013数字过大的话，可以修改为100，包括后面也可以自行修改
[$\frac{a}{2}+\frac{b}{6}$]

爪机专用 · 发表于 2013-11-1 08:01

回复 2# realnumber
大于等于算木平均的平均都行，几何平均就不一定连续了。

realnumber · 发表于 2013-11-1 08:10

回复 4# 爪机专用

觉得也可以，比如按这样次序，a=1,b=100,$c=\sqrt{ab}=10$
a=10,b=100,$c=\sqrt{ab}$,....，应该也可以取到所有1~100内的数，包括99
3楼怎样？

kuing · 发表于 2013-11-1 08:16

回复 5# realnumber

{1,2,4}

kuing · 发表于 2013-11-1 08:18

回复 5# realnumber

99 取不了，倒数第二个一定取不了。

realnumber · 发表于 2013-11-1 08:19

回复 6# kuing

哦，你是对的，要不表达式先修改为[$\sqrt{ab}$],考虑M内最少的元素个数.

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