三次挠曲线的齐次坐标

青青子衿

\[ \bigg\{\,XZ-Y^2,\,YW-Z^2,\,XW-YZ\,\bigg\} \]
参见：三次挠曲线—维基百科
en.wikipedia.org/wiki/Twisted_cubic

hbghlyj

A1第31页
三次扭线（Twisted Cubic）
二次曲面是根据二次曲线方程的变元次数在三维空间中的类比而得到的。下面所介绍的三次曲线，也可以看成是二次曲线在三维空间中的一种类比。
二维射影平面上的二次曲线可以由下述二次参数方程来描述：
$$\tag{1.2.26}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1 \\ t \\ t^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{11}+a_{12} t+a_{13} t^{2} \\ a_{21}+a_{22} t+a_{23} t^{2} \\ a_{31}+a_{32} t+a_{33} t^{2}\end{array}\right)$$其中 $A$ 为非奇异的 3×3 矩阵。
二次曲线的参数方程在三维空间中的类比是下述三次参数方程：$$\tag{1.2.27}\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1 \\ t \\ t^{2} \\ t^{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{11}+a_{12} t+a_{13} t^{2}+a_{14} t^{3} \\ a_{21}+a_{22} t+a_{23} t^{2}+a_{24} t^{3} \\ a_{31}+a_{32} t+a_{33} t^{2}+a_{34} t^{3} \\ a_{41}+a_{42} t+a_{43} t^{2}+a_{44} t^{3}\end{array}\right)$$其中 $A$ 是非奇异的 4×4 矩阵。
由方程(1.2.27)所定义的空间曲线称为三次扭线。三次扭线在摄像机矩阵的退化情况分析
中有非常重要应用。下面给出三次扭线的一些性质：

• 三次扭线有 12 个自由度，一般位置的六点确定唯一的三次扭线；
• 三次扭线与所有的空间平面都至少相交于一个实点，至多相交于 3 个实点；
• 所有的三次扭线都是射影等价的。

hbghlyj

由于我的数学StackExchange论坛帐户封禁了无法发帖，先发到Mathematica论坛问问：mathematica.stackexchange.com/questions/31024 … mpute-the-unique-twi

青青子衿

hbghlyj 发表于 2023-2-19 21:32
A1第31页
三次扭线（Twisted Cubic）
二次曲面是根据二次曲线方程的变元次数在三维空间中的类比而得到的。 ...

三次扭曲线好像可以由两个坐标平面正交的投影柱面求交得到，
将三次扭曲线分别对XOY平面和XOZ平面作投影，两个投影柱面求交.
平面上的投影柱面对应于射影平面三次有理曲线.
它的隐式方程参考“射影平面三次有理曲线的隐式方程”
forum.php?mod=viewthread&tid=10554

hbghlyj

Given six points in P³ with no four coplanar, how do you compute the unique twisted cubic passing through them

vision.ia.ac.cn/Faculty/yhwu/papers/tc_pami2003.pdf
本文中的定理2和公式（8）似乎回答了这个问题。