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三次扭线（Twisted Cubic）
二次曲面是根据二次曲线方程的变元次数在三维空间中的类比而得到的。下面所介绍的三次曲线，也可以看成是二次曲线在三维空间中的一种类比。
二维射影平面上的二次曲线可以由下述二次参数方程来描述：
$$\tag{1.2.26}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1 \\ t \\ t^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{11}+a_{12} t+a_{13} t^{2} \\ a_{21}+a_{22} t+a_{23} t^{2} \\ a_{31}+a_{32} t+a_{33} t^{2}\end{array}\right)$$其中 $A$ 为非奇异的 3×3 矩阵。
二次曲线的参数方程在三维空间中的类比是下述三次参数方程：$$\tag{1.2.27}\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1 \\ t \\ t^{2} \\ t^{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{11}+a_{12} t+a_{13} t^{2}+a_{14} t^{3} \\ a_{21}+a_{22} t+a_{23} t^{2}+a_{24} t^{3} \\ a_{31}+a_{32} t+a_{33} t^{2}+a_{34} t^{3} \\ a_{41}+a_{42} t+a_{43} t^{2}+a_{44} t^{3}\end{array}\right)$$其中 $A$ 是非奇异的 4×4 矩阵。
由方程(1.2.27)所定义的空间曲线称为三次扭线。三次扭线在摄像机矩阵的退化情况分析
中有非常重要应用。下面给出三次扭线的一些性质：
- 三次扭线有 12 个自由度，一般位置的六点确定唯一的三次扭线；
- 三次扭线与所有的空间平面都至少相交于一个实点，至多相交于 3 个实点；
- 所有的三次扭线都是射影等价的。
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hbghlyj
发表于 2023-2-19 21:32
