两个定圆与面积最大的直角三角形

青青子衿

极坐标系下有两个定圆\(\,\odot\,\!P\,\)与\(\,\odot\,\!Q\,\)，两个圆上分别有两个点\(\,M\,\)与\(\,N\,\)，其中OM⊥ON请问何时这个直角三角形面积最大。

如果这种情形下过于复杂的话，将问题简化为两个定圆的圆心都落于极轴所在的直线上，是否可以快速地得出结果呢？

kuing

想起了这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=5771 ，晚点也试试玩速度分解，先剪个片……

青青子衿

r=r_{OP}\cos\left(\theta\right)+\sqrt{{r_{OP}}^2\cos\left(\theta\right)^2-\left({r_{OP}}^2-{r_p}^2\right)}
r=r_{OQ}\cos\left(\theta\right)+\sqrt{{r_{OQ}}^2\cos\left(\theta\right)^2-\left({r_{OQ}}^2-{r_q}^2\right)}
好像真的不好算
\begin{align*}
\rho_{\overset{}{1}}\left(\theta\right)&=\rho_{\overset{}{OP}}\cos\left(\theta\right)+\sqrt{{\rho_{\overset{}{OP}}}^2\cos\left(\theta\right)^2-\left({\rho_{\overset{}{OP}}}^2-{R_{\overset{}{P}}}^2\right)}\\
\\
\rho_{\overset{}{2}}\left(\theta\right)&=\rho_{\overset{}{OQ}}\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt{{\rho_{\overset{}{OQ}}}^2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)^2-\left({\rho_{\overset{}{OQ}}}^2-{R_{\overset{}{Q}}}^2\right)}\\
\\
\rho_{\overset{}{2}}\left(\theta\right)&=\rho_{\overset{}{OQ}}\sin\left(\theta\right)+\sqrt{{\rho_{\overset{}{OQ}}}^2\sin\left(\theta\right)^2-\left({\rho_{\overset{}{OQ}}}^2-{R_{\overset{}{Q}}}^2\right)}\\
\end{align*}