求$\abs{\vv{a}-\vv{b}}$的最大值

realnumber

已知：$\vv{a}·\vv{b}=0， \abs{\vv{c}}=1,\abs{\vv{a}-\vv{c}}=\abs{\vv{c}-\vv{b}}=5$，求$\abs{\vv{a}-\vv{b}}$的最大值.

敬畏数学

答案：8。晚点再码一下。

kuing

与《撸题集》P1030 FAQ 43 是同一类题。

realnumber

因为$\vv{a}·\vv{b}=0$,设$\abs{\vv{a}-\vv{b}}=\abs{\vv{a}+\vv{b}}=m$,
由$\abs{\vv{c}-\vv{b}}=\abs{\vv{c}-\vv{a}}=5$，平方，相加得到
$-2m\le m^2-48=2\vv{c}·(\vv{a}+\vv{b})\le 2m$
解得$6\le m\le 8$,取等条件如图所示.
$\vv{OA}=\vv{a},\vv{OB}=\vv{b},\vv{OC}=\vv{c}$,

敬畏数学

回复 3# kuing
FAQ中求弦中点轨迹及矩形第四顶点（圆外）的轨迹方法很好。

敬畏数学

最近这方面的题很多；抄袭几个：
（1）平面向量$  \overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}，|\overrightarrow{a}|=3，|\overrightarrow{b}|=2，|\overrightarrow{c}|=1，(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0$，则$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|  $的范围______。($ [2\sqrt{3}-1，2\sqrt{3}+1 ]$)
（2）平面向量$  \overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}，|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2，|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$，则$|\overrightarrow{c}|$的范围_____。($ [\frac{\sqrt{3}}{3}，1 ]$)。
第一题依葫芦画瓢简单！第二题答案做出来了，但很复杂，就是设点，点C轨迹（一般都是圆或部分）出来，然后范围。考虑是否纯几何法求C轨迹？谢谢。

kuing

回复 6# 敬畏数学

题（2）其实就是由一道常见的初中几何题出的：

`P` 在弧 `AA'` 上，`\triangle BAA'` 和 `\triangle APQ` 均为正三角形，则 `\triangle ABP\cong\triangle AA'Q`，由此得到 `PB=PA+PA'`。
题（2）的 $\bm a=\vv{OA}$, $\bm b=\vv{OB}$，那么 `\bm c` 就是 $\vv{OP}$，当然，要严格一点，还要证明除了弧 `AA'` 的其他点都不符合才行，不过懒得扯了，另外，弧的端点也符合，所以 1 能取到。

游客

敬畏数学

回复 7# kuing
等边三角形外接圆的性质原型。

敬畏数学

回复 8# 游客
此解法更神奇。。。。

色k

回复 10# 敬畏数学

相当于把矩形那平方和性质证了并使用。
当 `\bm a\cdot\bm b=0` 时 `\bm c^2+(\bm a+\bm b-\bm c)^2=(\bm a-\bm c)^2+(\bm b-\bm c)^2`
也就是 `CO^2+CD^2=CA^2+CB^2`（`D` 为矩形第四顶点）

顺便配个图

敬畏数学

$ M(1,0) $，点A在$ x^2+y^2=4 $上，点B在$ x^2+y^2=9$上，且$ \vv{MA}\cdot \vv{MB} =3$，则$ |\vv{MA}+ \vv{MB} | $的最大值______。此题设$ A（x_1，y_1） $，$ B（x_2，y_2） $，$A,B$中点$（x,y）$，把中点坐标平方消元可以可以解析出来中点轨迹。看高手能否别法？