含参变量函数的最小值值域问题

敬畏数学

若$ a∈[0，1)$，讨论函数$ f(x)=\frac{e^x-ax-a}{x^2}(x>0) $的最小值，并求最小值的值域。

kuing

没啥特别的啊，按常规的做法就是了
\[f'(x)=\frac{a(x+2)+(x-2)e^x}{x^3},\]则
\[f'(x)=0\iff a=-\frac{x-2}{x+2}e^x=g(x),\]易证当 `x>0` 时 `g(x)` 递减且在 `(0,2]` 上的值域为 `[0,1)`，也就是对任意 `a\in[0,1)` 都唯一存在 `x_0\in(0,2]` 满足 `a=g(x_0)`，即 `f'(x_0)=0`，那么 `f(x_0)` 就是最小值，此时
\[f(x_0)=\frac{e^{x_0}-(x_0+1)g(x_0)}{x_0^2}=\frac{e^{x_0}+(x_0+1)\frac{x_0-2}{x_0+2}e^{x_0}}{x_0^2}=\frac{e^{x_0}}{x_0+2},\]易证右边关于 `x_0` 递增，所以最小值的值域就是 `(1/2,e^2/4]`。

敬畏数学

哈哈，处理太好，极小值点的范围确定完美。谢谢！

敬畏数学

BTW，有网络解答非常胡扯，具体不说。

kuing

回复 5# 敬畏数学

有链接的话发来瞧瞧是怎样胡混过关的？

敬畏数学

回复 6# kuing
$ G（x)=lnx+(x-2)e^x-x<a $在$ x∈[\frac{1}{2}，1] $上恒成立，求a的范围。易证得：$ G(x)$在$[\frac{1}{2}，m)$上递增，在$(m，1)$上递减，$m $满足$ e^m=\frac{1}{m} ，m∈（\frac{1}{2}，1）$，$G（x）$的最大值为$ G（m）= lnm+(m-2)e^m-m=1-\frac{2}{m}-2m$，易得：$G（m）$在$m∈（\frac{1}{2}，1）$递增，所以$ a\geqslant G(1)=-3 $。大致是这样。其实，此题如果改一下还是可以的，改为求a的最小整数。G（m）∈（-4，-3），则a的最小整数为-3。

isee

回复 6# kuing

这个其实就是2016年理科全国卷2的导数第（2）问


forum.php?mod=viewthread&tid=4102——此链接，仅链接中，难得是乌贼写的，且思路一样

乌贼

回复 8# isee
吓我一跳，以为7楼网上是我写的