不等式证明一道

Shiki

对正实数$a,b,c$
求证

$8x^2y^2z^2\geqslant \Pi(x^2+xy+xz-yz)$

求一个不太暴力的解答，

kuing

到底是 abc 还是 xyz……

Shiki

回复 2# kuing

我改一下..换元把头换晕了

kuing

回复 3# Shiki

你的换元是想这样是吗：令 `a=yz`, `b=zx`, `c=xy`，不等式变成
\[8abc\geqslant\prod\left(\frac{bc}a+b+c-a\right),\]这样进行下去完全可以，去分母就是
\[8a^2b^2c^2\geqslant\prod(bc+ca+ab-a^2),\]由齐次性，不妨设 `bc+ca+ab=1`，于是可令 `a=\tan(A/2)` 等 with `\triangle ABC`，不等式变成以下的
\begin{gather*}
8\tan^2\frac A2\tan^2\frac B2\tan^2\frac B2\geqslant\left( 1-\tan^2\frac A2 \right)\left( 1-\tan^2\frac B2 \right)\left( 1-\tan^2\frac C2 \right),\\
8\sin^2\frac A2\sin^2\frac B2\sin^2\frac B2\geqslant\cos A\cos B\cos C,\\
(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geqslant\cos A\cos B\cos C,
\end{gather*}最后这个是已知不等式，并且它等价于 Gerretsen 不等式，参考《撸题集》P.471~472 题目 4.6.49。

Shiki

回复 4# kuing

orz。原来是这样。请问有没有sos之类的做法呢

色k

回复 5# Shiki

那我就会展开来看啦，不满足你的“非Bao力”需求了……

色k

完全展开然后组合一下，易得等价于
\[\sum x^4(y-z)^2+2\sum y^2z^2(x-y)(x-z)\geqslant0.\]

色k

再经过一些变形，我把它变成了：不妨设 `x\geqslant y\geqslant z`，原不等式等价于
\[\bigl( (x^2+y^2)(y-z)-(y^2+z^2)(x-y) \bigr)^2+4y^2(x-y)(y-z)(x^2+y^2+z^2)\geqslant0,\]可见原不等式实际上对任意实数都成立。

真 SOS 暂时还没搞粗来……

Shiki

回复 8# 色k

$(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geqslant \cos A\cos B\cos C$怎么用积化和差证呢..

kuing

回复 9# Shiki

不妨设 `C=\min\{A,B,C\}`，则 `C\leqslant\pi/3`，记
\[t=\cos\frac{A-B}2,u=\sin\frac C2,\]则 `0<t\leqslant1`, `0<u\leqslant1/2`，通过积化和差及和差化积，易证
\begin{align*}
\cos A\cos B&=t^2+u^2-1,\\
(1-\cos A)(1-\cos B)&=(t-u)^2,\\
\cos C&=1-2u^2,
\end{align*}所以不等式等价于
\[2(t-u)^2u^2\geqslant(t^2+u^2-1)(1-2u^2),\]按 `t` 整理为
\[-(1-4u^2)t^2-4u^3t+4u^4-3u^2+1\geqslant0,\]由 `0<u\leqslant1/2` 知上式关于 `t` 递减，从而只需证当 `t=1` 时，代入后化为 `u^2(2u-1)^2\geqslant0`，即得证。

kuing

回复 10# kuing

BTW，也可以对这个证法作“装逼变换”（又发明了一个新词），变成：不妨设 `C\leqslant\pi/3`，则
\begin{align*}
&(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)-\cos A\cos B\cos C\\
={}&\left( 1-\cos C-\sin\frac C2 \right)^2+8\sin^3\frac C2\sin^2\frac{A-B}4+\left( 1-4\sin^2\frac C2 \right)\sin^2\frac{A-B}2\geqslant0.
\end{align*}

Shiki

回复 11# kuing

网上找了很久没有Gerretsen不等式的证明，下午只好自己操作，移项设序后左边t的系数都是负的，故可利用$t\leqslant 1$，最后得到$u^2(2u-1)^2$，这个配方太神奇了..只能看出和取等有点关系