三角函数式的最值

Shiki

1.$\alpha, \beta$为锐角
求$\frac{(1+cos^2\alpha)(1-sin^4\alpha cos^4\beta )(1-sin^4\alpha sin^4\beta)}{sin^22\alpha sin^22\beta}$的最小值
2.在$\triangle ABC$中，求$\frac {\Sigma \sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac {B}{2}}}{\Sigma \sin A}$的最大值

kuing

2、见 forum.php?mod=viewthread&tid=3622

kuing

1、令 `x=\sin^22\beta`, `t=\sin^2\alpha`，则原式化为
\[f(x)=\frac{2-t}{4t(1-t)}\left( \frac{1-t^2}x+\frac{t^4}{16}x+\frac{t^2}2 \right).\]
（1）当 `t^4<16(1-t^2)` 时，则当 `x=1` 取最小，即
\[f(x)\geqslant f(1)=\frac{(2-t)(4-t^2)^2}{64t(1-t)},\]求导易证当 `t=2/3` 时上式右边最小，得到 `f(x)\geqslant32/27`；

（2）当 `t^4\geqslant16(1-t^2)` 时，有
\begin{align*}
f(x)&\geqslant\frac{2-t}{4t(1-t)}\left( (1-t^2)\left( \frac1x+x \right)+\frac{t^2}2 \right)\geqslant\frac{2-t}{4t(1-t)}\left( 2(1-t^2)+\frac{t^2}2 \right)\\
&=\frac{(2-t)(4-3t^2)}{8t(1-t)}>\frac{(2-t)(4-3t)}{8t(1-t)}=\frac1t+\frac1{8-8t}-\frac38\geqslant\frac{\bigl(\sqrt8+1\bigr)^2-3}8>\frac54>\frac{32}{27}.
\end{align*}
综上得最小值为 `32/27`