奇怪的导数

realnumber

\[g(x)=x(\frac{1+\ln x}{e^x})'=\frac{1-x-x\ln x}{e^x}\]
求证：$g(x)<1+e^{-2}$

从图象看$g(x)<1+e^{-3}$都可以.

kuing

奇怪在哪？

realnumber

容易得只需要证明0<X<1即可.
因为$e^x>1+x$
那么本题,只需要证明$1-x\ln x-x<(1+x)(1+e^{-2})$
即$\ln x+2+e^{-2}+\frac{1}{xe^2}>0$
设$f(x)=\ln x+2+e^{-2}+\frac{1}{xe^2}$
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2e^2}=0$解得$x=e^{-2}$,取到最小，此时$f(e^{-2})>0$成立0.
看改进的结果，
只需要证明$1-x\ln x-x<(1+x)(1+e^{-3})$
即$\ln x+2+e^{-3}+\frac{1}{xe^3}>0$
设$f(x)=\ln x+2+e^{-3}+\frac{1}{xe^3}$
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2e^3}=0$解得$x=e^{-3}$,取到最小，此时$f(e^{-3})>0$成立0.也可以。嘿嘿~~~运气好得很~~~

realnumber

lnx,和$e^x$搭配普高学生很少见，，勉强说个理由，...好吧，承认是标题党

战巡

lnx,和$e^x$搭配普高学生很少见，，勉强说个理由，...好吧，承认是标题党 ...
realnumber 发表于 2013-11-1 14:26

高等数学也很少见好吧...
因为这货的积分巨坑无比
\[\int_{0}^{\infty}\frac{ln(x)}{e^x}dx=-c\approx-0.577216\]

其妙

奇怪在哪？
kuing 发表于 2013-11-1 14:04

呵呵，迷茫中

依然饭特稀

貌似山东的高考题？

realnumber

回复 7# 依然饭特稀
对