一道有封闭和的高次分式数列

青青子衿

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{\left(k^4+4\right)\left(k^2+1\right)}
\end{align*}

kuing

注意到
\[k^4+4=(k^2+2)^2-4k^2=\bigl((k-1)^2+1\bigr)\bigl((k+1)^2+1\bigr),\]由此易得裂项式
\[\frac k{(k^4+4)(k^2+1)}=\frac1{4\bigl((k-1)^2+1\bigr)(k^2+1)}-\frac1{4(k^2+1)\bigl((k+1)^2+1\bigr)}.\]