与抛物线重心有关的面积比的最小值

lemondian

如图，已知点$F(1,0)$抛物线$y_2=2px(p>0)$的焦点，过点$F$的直线交抛物线于$A,B$两点，点$C$在抛物线上，使得$\triangle ABC$的重心$G$在$x$轴上，直线$AC$交$x$轴于点$Q$，且$Q$在点$F$右侧。记$\triangle AFG,\triangle CQG$的面积分别为$S_1,S_2$。
(1)求$p$的值及抛线线的方程；
(2）求$\dfrac{S_1}{S_2}$的最小值及此时点$G$的坐标。

力工

回复 1# lemondian
这题用几何性质还是好算点。有考场上象官方答案那样确实难算。一算一脸失望

lemondian

回复 2# 力工
平几性质吗？如何证明的呢？

kuing

不妨设 `AB` 斜率为正，则 `-2<y_B<0`，易知 `y_Ay_B=-4`，由重心在 `x` 轴上知 `y_A+y_B+y_C=0`。

记 $\S{ABC}=3S$，则 $\S{GAB}=\S{GAC}=S$，故
\begin{align*}
S_1&=\frac{AF}{AB}S=\frac{y_A}{y_A-y_B}S=\frac4{4+y_B^2}S,\\
S_2&=\frac{CQ}{CA}S=\frac{-y_C}{y_A-y_C}S=\frac{y_A+y_B}{2y_A+y_B}S=\frac{4-y_B^2}{8-y_B^2}S,
\end{align*}令 `t=y_B^2<4`，则
\[\frac{S_1}{S_2}=\frac{4(8-t)}{(4+t)(4-t)}=\frac1{4-\left(\frac{8-t}{4}+\frac{12}{8-t}\right)}\geqslant\frac1{4-2\sqrt3}=1+\frac{\sqrt3}2,\]取等时 `G` 的坐标懒得算了，事关我画图发现取等时似乎 `CG\perp x` 轴，所以估计会有更简单的平几解法，或许能直接判断出何时最小，待研究……

kuing

发现一个性质，不知对此题有没有用……

设抛物线 `\Gamma` 的顶点为 `O`，则 `\Gamma` 的内接 `\triangle ABC` 的重心在 `\Gamma` 的对称轴上当且仅当 `O`, `A`, `B`, `C` 四点共圆。

或者更一般点：抛物线的内接四边形的重心（不是物理的）在抛物线对称轴上当且仅当四个顶点共圆。

这结论用斜率互反易证，过程略。

isee

2019年浙江卷的解几

kuing

回复 6# isee

哦，标答发来瞧瞧？

isee

回复 7# kuing

没看头，很傻，抛物线参数方程+AB直线，韦达定理，硬算。
不发了。

lemondian

回复 7# kuing

lemondian

回复 5# kuing
话说这个如何证明呢？
还有4#的$CG$垂直于$x$轴,是否成立？

力工

回复 10# lemondian
对边斜率互为相反数。

lemondian

回复 4# kuing
@kuing:
好象此题的求面积比的最小值好象有一个更一般的结论呀。
就是不用什么抛物线这个东东，直接在三角形中就可以了,具体如下：
在$\triangle ABC$中，若$G$是$\triangle ABC$的重心，过点$G$作直线交$AB$于点$F$($F$与点$A,B$不重合），交$AC$于点$Q$（$Q$与点$A,C$不重合）,记$\triangle AFG,\triangle CQG$的面积分别为$S_1,S_2$。则的$\dfrac{S_1}{S_2}$最小值为$1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

kuing

回复 12# lemondian

唉，我通常说“有空待续……”“待研究……”之类，经常就是丢下不管了，而且机率在增长，感觉越来越懒了……

此结论的确成立，其证明也很简单，只需用到一个简单FAQ：
若令 $\vv{AF}=m\vv{AB}$, $\vv{AQ}=n\vv{AC}$，则有 `1/m+1/n=3`。（证明略（或参照撸题集题目 6.6.19））
当交点均在边的内部时，应有 `m`, `n\in(1/2,1)`。

然后同样地用 4# 的方法，记 $\S{ABC}=3S$，则 `S_1=mS`, `S_2=(1-n)S`，所以
\[\frac{S_1}{S_2}=\frac m{1-n}=\frac n{(1-n)(3n-1)}=\frac1{4-3n-\frac1n}\geqslant\frac1{4-2\sqrt3}=1+\frac{\sqrt3}2,\]当 `n=1/\sqrt3` 时取等。

PS、取等时并无垂直结论，原题有可能是巧合。

kuing

噢，原来你昨天的这个帖 forum.php?mod=viewthread&tid=6264 就是为了这个 PS……

lemondian

回复 14# kuing

呵呵，给你看穿了

lemondian

回复 13# kuing
我也是这样证的。

isee

回复  lemondian

唉，我通常说“有空待续……”“待研究……”之类，经常就是丢下不管了，而且机率在增长 ...
kuing 发表于 2019-6-26 10:47

这么一来，此题的命题可能就是这么来的，只是命题者用解析几何。

那这个就成了一道非常经典的向量重心的应用了，啧啧啧，此角度来，这题可用到高一做压轴题了。