小暑&卢沟桥事变&7月7日

青青子衿

\[\color{\red}
{\dfrac{7+\sqrt{77}}{7+7}\approx
1+\cfrac{1}{7  
   +\cfrac{1}{1  
    +\cfrac{1}{7
     +\cfrac{1}{1
      +\cfrac{1}{7
       +\cfrac{1}{1
        +\cfrac{1}{7
         +\cfrac{1}{1
          +\cfrac{1}{7
           +\cfrac{1}{1
            +\cfrac{1}{7
             +\cfrac{1}{1
              +\cfrac{1}{7}}}}}}}}}}}}}
}
\]

isee

回复 1# 青青子衿


    这个式子太巧了

kuing

角**，夜**<xiao****com>  16:14:09
在 10 进制中，有 $\sqrt{77}=7+\frac{7+7}{7+\frac{7}{7+\frac{7}{7+\cdots}}}$ ．求证在任意 $n(>3)$ 进制中，存在 $x, y$ ，都是由一个相同非 0 数字构成，满足 $\sqrt{x}=y+\frac{y+y}{y+\frac{y}{y+\frac{y}{y+\cdots}}}$ ．

记\[y+\frac y{y+\frac y{y+\cdots}}=A,\]（实际上就是连分数 `[y;1,y,1,y,\ldots]` 所以 `A` 的存在性无问题）则 `y+y/A=A`，得
\[A=\frac{y+\sqrt{y(y+4)}}2,\]则
\[y+\frac{y+y}{y+\frac y{y+\frac y{y+\cdots}}}=-y+2y+\frac{2y}{y+\frac y{y+\frac y{y+\cdots}}}=-y+2A=\sqrt{y(y+4)},\]那么当 `y=n-3` 时就有
\[y(y+4)=y(n+1)=\overline{yy},\]即得证。

isee

\color{\red}
{\dfrac{7+……

好意外，\red.....

kuing

回复 4# isee

还是如你上次所说：MathJax 很宽容

isee

回复 5# kuing

或者说 “智能容错”