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hbghlyj
Posted at 2023-3-23 23:06:45
不等式研究通讯 2003 年第 6 期
关于 Shapiro 循环不等式的引申
浙江省三门中学 邬天泉 317100
我们知道如下的循环不等式$^{[1]}$ :
已知 $x_1 \geq 0, x_i+x_{i+1}>0, i=1,2, \cdots, n, x_{n+1}=x_1$, 则
$$
\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\cdots+\frac{x_n}{x_1+x_2} \geq \frac{n}{2}
$$
仅当 $n \in\{n \in N \mid 3 \leq n \leq 13\} \cup\{15,17,19,21,23\}$ 时成立
下面我们先将 $n=4$ 的情形作出引申, 然后推广到一般情形.
已知正数 $x_1, x_2, x_3, x_4$, 将所有型如 $\frac{x_i}{x_j+x_k}(i, j, k=1,2,3,4$, 且 $i, j, k$ 互不相同 $)$ 的数按从小
到大的顺序组成一个数列 $\left\{a_n\right\}$, 记该数列的各项和为 $S$,
(1) 指出这个数列共有多少项?
(2) 试证: $S \geq 6$.
分析:(1)这个数列共有 $C_4^3 C_3^1=12$ 项;
(2)证法 1:注意由柯西不等式 $\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2$ 可得
$\sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left(\sum a_i\right)^2}{\sum b_i}$. (这里 $a_i>0, b_i>0, i=1,2, \cdots, n$). 所以
\begin{aligned}\sum_{i, j, k=1,2,3,4}^{i, j, k \text { 互不相同 }} \frac{x_i}{x_j+x_k}
&=\sum_{i, j, k=1,2,3,4}^{i, j, k \text { 不相同 }} \frac{x_i^2}{x_i x_j+x_i x_k}\\
&\geq \frac{\left[3\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)\right]^2}{4\left[\left(x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_4+x_4 x_1\right)+x_1 x_3+x_2 x_4\right]}\\
& =\frac{9\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2\left(x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_4+x_4 x_1\right)+2\left(x_1 x_3+x_2 x_4\right)\right]}{4\left[\left(x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_4+x_4 x_1\right)+x_1 x_3+x_2 x_4\right]} \\
& \geq \frac{9}{4} \cdot\left[\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{\sum x_i^2+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^4 x_i^2}+2\right]=6
\end{aligned}证法 2: $S=\left(\frac{x_3+x_4}{x_1+x_2}+\frac{x_1+x_2}{x_3+x_4}\right)+\left(\frac{x_2+x_4}{x_1+x_3}+\frac{x_1+x_3}{x_2+x_4}\right)+\left(\frac{x_1+x_4}{x_2+x_3}+\frac{x_2+x_3}{x_1+x_4}\right)\geq 2+2+2=6$
一般地, 我们有如下
命题:已知正数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 将所有型如 $\frac{x_i}{x_j+x_k}$ ($i, j, k=1,2, \cdots, n$, 且 $i, j, k$ 互不相同的数) 按从小到大的顺序组成一个数列 $\left\{a_n\right\}$, 记该数列的各项和为 $S$, 则
(1) 数列 $\left\{a_n\right\}$ 共有 $\frac{1}{2} n(n-1)(n-2)$ 项;
(2) $S \geq \frac{1}{4} n(n-1)(n-2)$.
证明:(1) 显然这个数列共有 $C_n^3 C_3^1=\frac{1}{2} n(n-1)(n-2)$ 项;
(2) 我们容易得到 $\sum_{i, j=1,2, \cdots, n}^{i \neq j} x_i x_j \leq \frac{n-1}{2} \sum_{i=1}^n x_i^2$.
再据 $\sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left(\sum a_i\right)^2}{\sum b_i}$. (这里 $\left.a_i>0, b_i>0, i=1,2, \cdots, n\right)$. 有:
$\sum_{i, j, k=1,2, \cdots, n}^{i, j, k \text { 互不相同 }} \frac{x_i}{x_j+x_k}=\sum_{i, j, k=1,2, \cdots, n}^{i, j, k \text { 互不相同 }} \frac{x_i^2}{x_i x_j+x_i x_k}$
$\geq \frac{\left[\frac{1}{2}(n-1)(n-2)\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\right]^2}{2(n-2) \sum_{i, j=1,2, \cdots, n}^{i \neq j} x_i x_j}$
$=\frac{(n-1)^2(n-2)\left[x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+2 \sum_{i, j=1,2, \cdots, n}^{i \neq j} x_i x_j\right]}{8 \sum_{i, j=1,2, \cdots, n}^{i \neq j} x_i x_j}$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{8}(n-1)^{2}(n-2)\left[\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{\sum_{i, j=1, \cdots, n}^{i \neq j} x_{i} x_{j}}+2\right] \\ \geq \frac{1}{8}(n-1)^{2}(n-2)\left(\frac{2}{n-1}+2\right)=\frac{1}{4} n(n-1)(n-2)\end{array}$
参考文献
[1] 盛立人 严镇军 Shapiro 循环不等式《初等数学前沿》vol.1(1995)陈计 叶中豪 主编 |
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