切线法不等式

Shiki

对满足$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$的正实数$a,b,c$，求证：$$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2} \leqslant \frac{3}{16}$$

kuing

首先齐次化，等价于
\[\sum\frac1{(2a+b+c)^2}\leqslant\frac3{16}\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c \right)\frac1{a+b+c},\]再标准化，不妨设 `a+b+c=3`，化为
\[\sum\frac1{(a+3)^2}\leqslant\frac1{16}\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c \right),\]即
\[\sum\left( \frac{16}{(a+3)^2}-\frac1a \right)\leqslant0,\]计算切线后作差，有
\[\frac{16}{(a+3)^2}-\frac1a-\frac{a-1}2=-\frac{(a-1)^2(a^2+7a+18)}{2a(a+3)^2}\leqslant0,\]所以
\[\sum\left( \frac{16}{(a+3)^2}-\frac1a \right)\leqslant\sum\frac{a-1}2=0,\]即得证。

kuing

注：先齐次化（去掉条件）再标准化（又加条件），虽然是没问题的，但难免会有人怀疑其合理性，如果不想解释，或者只是懒得写太多的话，也可以将上述过程改写，形成一个吓人的恒等式，就能免去转化的步骤（还能起到装逼的效果）：
\begin{align*}
&\frac1{(2a+b+c)^2}-\frac3{16a(a+b+c)}-\frac{9(2a-b-c)}{32(a+b+c)^3}\\
={}&\frac{-(2a-b-c)^2(16a^2+19ab+19ac+6b^2+12bc+6c^2)}{32a(a+b+c)^3(2a+b+c)^2}\leqslant0,
\end{align*}从而
\[\sum\frac1{(2a+b+c)^2}\leqslant\sum\left( \frac3{16a(a+b+c)}+\frac{9(2a-b-c)}{32(a+b+c)^3} \right)=\frac3{16}.\]
（呐，又传授装逼技巧了，你学会了吗？）

Shiki

回复 3# kuing

装B效果太好，改卷老师可能快速判0算了半天二阶导，发现Jensen也可以解