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Last edited by hbghlyj 2022-11-2 02:01$(x,y)\mapsto\left(\dfrac1{x\left(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac2{x+y-1}\right)},\dfrac1{y\left(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac2{x+y-1}\right)}\right)$
用复数改写成$z\mapsto\dfrac{\left(-z-i z^*+1+i\right) z^*}{(1+i) z^2-(1-i) z z^*-(1+i) \left(z^*\right)^2-i z+z^*}$
令分母=0,得$x^2+4 x y+y^2-x-y=0$,它也经过三角形的顶点(0,0)(1,0)(0,1).
例如取三角形的顶点为(0,0)(1,0)(0,1),锥线的方程为$11 x^2+34 x y+11 y^2-8 x-8 y+1=0$
则四次曲线的方程为$c:x^4 + 4 x^3 y + 7 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4 - 2 x^3- 9 x^2 y- 9 x y^2 - 2 y^3 + x^2+ 5 x y +y^2=0$
把c关于原点反演变为$x^6+5 x^5 y-2 x^5+3 x^4 y^2-9 x^4 y+x^4+10 x^3 y^3-11 x^3 y^2+4 x^3 y+3 x^2 y^4-11 x^2 y^3+7 x^2 y^2+5 x y^5-9 x y^4+4 x y^3+y^6-2 y^5+y^4=0$有两条渐近线,两个二重点,过原点但在原点附近没有图形(很多曲线都是这样,例如帖子6433的垂足曲线)
把c关于(1,0)反演变为$x^6-x^5 y-4 x^5+x^4 y^2+8 x^4 y+6 x^4-2 x^3 y^3+3 x^3 y^2-18 x^3 y-4 x^3-x^2 y^4+11 x^2 y^3-8 x^2 y^2+16 x^2 y+x^2-x y^5+7 x y^4-12 x y^3+3 x y^2-5 x y-y^6+3 y^5-5 y^4+3 y^3+y^2=0$有两条渐近线,两个二重点,过(1,0)但在(1,0)附近没有图形
把c关于(0,1)反演变为$-x^6-x^5 y+3 x^5-x^4 y^2+7 x^4 y-5 x^4-2 x^3 y^3+11 x^3 y^2-12 x^3 y+3 x^3+x^2 y^4+3 x^2 y^3-8 x^2 y^2+3 x^2 y+x^2-x y^5+8 x y^4-18 x y^3+16 x y^2-5 x y+y^6-4 y^5+6 y^4-4 y^3+y^2=0$有两条渐近线,两个二重点,过(0,1)但在(0,1)附近没有图形
那个平面变换将实轴变成(0,1)、虚轴变成(1,0)、(0,0)变成x+y=1，将双曲线$x^2+4xy+y^2-x-y=0$上其他的点变为无穷远点，将平面除去双曲线外的任何点变为有限点
而且它是个对合
与等角共轭、等截共轭都不同的是，它没有不动点
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但是如何证明只有这三个点，它们的像是整个直线，
而双曲线$x^2+4xy+y^2-x-y=0$上其他的点的像就只含无穷远点？
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如果改为一般的z和z*的有理函数,如何确定像这种不能一一对应的点？
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arxiv.org/pdf/1309.6378v1.pdf
Analogues of circle inversion for general conics
Inversion with Respect to the Central Conics
Extension of the Theory of Inversion to Conics |
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