该向量式可以用等角共轭解释吗？

青青子衿

下述关于外心与垂心的向量表达式可以用等角共轭来解释吗？
\begin{align*}
\begin{split}
\overrightarrow{PO}=
& +\dfrac{\sin(2A)\,}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\overrightarrow{PA}\\
&+\dfrac{\sin(2B)\,}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\overrightarrow{PB}\\
&+\dfrac{\sin(2C)\,}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\overrightarrow{PC}
\end{split}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{split}
\overrightarrow{PO}=
& +\dfrac{\tan(B)+\tan(C)\,}{2\tan(A)+2\tan(B)+2\tan(C)}\overrightarrow{PA}\\
&+\dfrac{\tan(A)+\tan(C)\,}{2\tan(A)+2\tan(B)+2\tan(C)}\overrightarrow{PB}\\
&+\dfrac{\tan(A)+\tan(B)\,}{2\tan(A)+2\tan(B)+2\tan(C)}\overrightarrow{PC}
\end{split}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{split}
\overrightarrow{PH}=
& +\dfrac{\tan(A)\,}{\tan(A)+\tan(B)+\tan(C)}\overrightarrow{PA}\\
&+\dfrac{\tan(B)\,}{\tan(A)+\tan(B)+\tan(C)}\overrightarrow{PB}\\
&+\dfrac{\tan(C)\,}{\tan(A)+\tan(B)+\tan(C)}\overrightarrow{PC}
\end{split}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{split}
\overrightarrow{PH}=
& +\dfrac{\sin(2B)+\sin(2C)-\sin(2A)\,}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\overrightarrow{PA}\\
&+\dfrac{\sin(2A)+\sin(2C)-\sin(2B)\,}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\overrightarrow{PB}\\
&+\dfrac{\sin(2A)+\sin(2B)-\sin(2C)\,}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}\overrightarrow{PC}
\end{split}
\end{align*}

kuing

楼主貌似总是喜欢将这类结论写成带任意点 P 的式子……
其实写成既等价又简洁的 $\sin2A\cdot\vv{OA}+\sin2B\cdot\vv{OB}+\sin2C\cdot\vv{OC}=\bm0$ 不好吗？

等角共轭我不了解，但我知道它们的确能互推。

就从我刚才写的那个出发，首先，设 $BC$ 的中点为 $D$，则由欧拉线定理可知恒有
\[
\vv{HA}=-2\vv{OD}=-\vv{OB}-\vv{OC},
\]同理有类似的两式，由此可得
\[
\vv{OA}=\frac{\vv{HA}-\vv{HB}-\vv{HC}}2,
\]同理有类似的两式，代入 $\sin2A\cdot\vv{OA}+\sin2B\cdot\vv{OB}+\sin2C\cdot\vv{OC}=\bm0$ 中，即得
\[
\sin2A\cdot\bigl(\vv{HA}-\vv{HB}-\vv{HC}\bigr)
+\sin2B\cdot\bigl(\vv{HB}-\vv{HC}-\vv{HA}\bigr)
+\sin2C\cdot\bigl(\vv{HC}-\vv{HA}-\vv{HB}\bigr)=\bm0,
\]即
\[
(\sin2A-\sin2B-\sin2C)\vv{HA}
+(\sin2B-\sin2C-\sin2A)\vv{HB}
+(\sin2C-\sin2A-\sin2B)\vv{HC}=\bm0,
\]也就是 1# 的第四个；

然后利用三角变换，易证 $\sin2A-\sin2B-\sin2C=-4\sin A\cos B\cos C$，同理有另外两式，于是上式化为
\[
\sin A\cos B\cos C\cdot\vv{HA}
+\sin B\cos C\cos A\cdot\vv{HB}
+\sin C\cos A\cos B\cdot\vv{HC}=\bm0,
\]当非直角三角形时，两边除以 $\cos A\cos B\cos C$ 即得
\[
\tan A\cdot\vv{HA}+\tan B\cdot\vv{HB}+\tan C\cdot\vv{HC}=\bm0,
\]也就是 1# 的第三个；

再次运用 $\vv{HA}=-\vv{OB}-\vv{OC}$ 等，即得
\[
\tan A\cdot\bigl(\vv{OB}+\vv{OC}\bigr)+\tan B\cdot\bigl(\vv{OC}+\vv{OA}\bigr)+\tan C\cdot\bigl(\vv{OA}+\vv{OB}\bigr)=\bm0,
\]即
\[
(\tan B+\tan C)\vv{OA}+(\tan C+\tan A)\vv{OB}+(\tan A+\tan B)\vv{OC}=\bm0,
\]也就是 1# 的第二个。

这样就推完了……舒服不？

hejoseph

若 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，$\alpha\vv{PA}+\beta\vv{PB}+\gamma\vv{PC}=\mathbf{0}$，点 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 的等角共轭点不存在（此时的等角线是互相平行的，可以理解为等角共轭点在无穷远处）的充要条件是：$\beta\gamma a^2+\alpha\gamma b^2+\alpha\beta c^2=0$（这也是点 $A$、$B$、$C$、$P$ 共圆的充要条件）。若点 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 的等角共轭点是 $Q$，则 $\beta\gamma a^2\vv{QA}+\alpha\gamma b^2\vv{QB}+\alpha\beta c^2\vv{QC}=\mathbf{0}$。

isee

回复 3# hejoseph

这个真“专业”了，估计很多等角共轭点都不知道。

kuing

回复 3# hejoseph

学习鸟，`\angle OAB=\angle HAC`，同理有另外两式，所以垂心和外心是等角共轭的。

这样的话由 $\sin2A\cdot\vv{OA}+\sin2B\cdot\vv{OB}+\sin2C\cdot\vv{OC}=\bm0$ 得（当非直角三角形时）
\[
\frac{a^2}{\sin2A}\vv{HA}+\frac{b^2}{\sin2B}\vv{HB}+\frac{c^2}{\sin2C}\vv{HC}=\bm0,
\]再用一下正弦定理，就是 $\tan A\cdot\vv{HA}+\tan B\cdot\vv{HB}+\tan C\cdot\vv{HC}=\bm0$。

isee

回复 2# kuing

第一式与第二式的等价，又会直接“验证”，你是直接推理得到的。

“验证"的意思是$$\frac{\tan(B)+\tan(C)\,}{2\tan(A)+2\tan(B)+2\tan(C)}=\frac{\tan(B)+\tan(C)\,}{2\tan(A)\tan(B)\tan(C)}.$$

外心面积最大那里，得到过（没写出来）$$\frac{\sin(2A)\,}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}=\frac{2\sin(A)\cos(A)\,}{4\sin(A)\sin(B)\sin(C)}=\frac{\frac {\sin(B+C)}{\cos(B)\cos(C)}\,}{2\tan(A)\tan(B)\tan(C)}.$$

这两式的右端显然是相等的。应用见 11#。