有关Casey定理(即广义Ptolemy)的问题

hbghlyj

设正△ABC的外接圆和内切圆分别是r、ω,P为ω上一动点,$P_1、P_2、P_3$分别为P在BC、CA、AB上的射影，圆$ω_1、ω_2、ω_3$分别与BC、CA、AB切于$P_1、P_2、P_3$且与Γ内切（它们的圆心与A、B、C分别在BC、CA、AB的异侧）.证明：圆$ω_1、ω_2、ω_3$两两外公切线的长度之和是一个定值.

hbghlyj

补充一下Casey定理及应用

hbghlyj

设$M_a,M_b,M_c$分别是△ABC三边BC,CA,AB中点,$T_a,T_b,T_c$是△ABC的外接圆上不包含相对的顶点的$\widehat {AB},\widehat {BC},\widehat {CA}$的中点,{i,j,k}={a,b,c},$ω_i$是以$M_iT_i$为直径的圆,$p_i$是$ω_i与ω_k$的外公切线,且$ω_i与ω_j与ω_k在P_i异侧$,证明:$\triangle P_aP_bP_c$与$\triangle ABC$位似,位似比为1:4
证明：设$T_aT_b$交⊙$M_bT_b$于U,过U作切线UK可知UK‖BC,K为$M_bP$中点($M_bU⊥UP$),$\triangle IQB≌ \triangle TSB$,又$T_aI=T_aB$,IQ‖BC,同理IP‖BC,VU即为公切线,两三角形相似.而$\triangle P_aP_bP_c$与$\triangle M_aM_bM_c$位似,位似中心为I,位似比为1:2,∴$\triangle P_aP_bP_c$与$\triangle ABC$位似,位似比为1:4

青青子衿

回复 3# hbghlyj
开世定理（其实我觉得这个命题叫“凯西定理”更好）

hbghlyj

回复 1# hbghlyj

如何证明呢

Ly-lie

上个月刚好证过
如图，设三个切点分别为$D,E,F$,由位似性质知有$A,P_1,D$共线等，设三条公切线长为$l_1,l_2,l_3$,$AB=BC=CA=1$.
对点圆$A,B$及$l_1$切的两圆由Casey定理：\[l_1+AP_2\cdot BP_1=\sqrt{BP_2\cdot BE\cdot AP_1\cdot AD}=\sqrt{(BP_2^2+AP_2\cdot CP_2)(AP_1^2+BP_1\cdot CP_1)}\]
由余弦定理$AP_2^2+1-AP_2=BP_2^2$,则$BP_2^2+AP_2\cdot CP_2=1$,同理$AP_1^2+BP_1\cdot CP_1=1$,故$l_1+BP_1\cdot AP_2=1$.同理有另两式，相加得\[l_1+l_2+l_3=3-BP_1\cdot AP_2-CP_2\cdot BP_3-AP_3\cdot CP_1=3-AP_2\cdot AP_3-BP_1\cdot BP_3-CP_1\cdot CP_2\]故只需三角形$P_1P_2P_3$的面积为定值，又由Euler定理知这个三角形的面积正比于$P$到外接圆的幂，即$PO^2-R^2$,由内外心重合知$PO$为定值，故三角形面积为定值，得证.