|
|
Casey 定理是几何学中的一个著名的结果 (见 [3,4]). 托勒密定理 (见 [2]) 可以看作是 Casey 定理的特殊情况. 另一方面, 托勒密不等式 (见 [3]) 可认为是托勒密定理的推广. 本节中我们将托勒密不等式进行推广.
定理 1 (Casey定理) 当且仅当 $T_{(12)} T_{(34)} \pm T_{(12)} T_{(42)} \pm T_{(14)} T_{(23)}=0$ 时, 圆 $c_1, c_2,c_3, c_4$ 与第五个圆相切或与一直线相切,这里 $T_{(i j)}$ 是圆 $i$ 和圆 $j$ 的公切线的长.
unitsize(1mm);
pair closest(pair p,pair c,real r){return c+r*unit(p-c);}
real r=186-135,ri=217-193;
pair c=(186,-113),
A=closest((158,-71),c,r),
B=closest((148,-148),c,r),
C=closest((223,-148),c,r),
i=closest((193,-163),c,r+ri);
draw(A--B--C--cycle);
draw(circle(c,r));
path a=circle(i,ri);
draw(a);
pair A0=intersectionpoint(arc((A+i)/2,A,i),a),
B0=intersectionpoint(arc((B+i)/2,i,B),a),
C0=intersectionpoint(arc((C+i)/2,i,C),a);
draw(A--A0);draw(B--B0);draw(C--C0);
dot(c);dot(i);dot(A,Fill(white));dot(B,Fill(white));dot(C,Fill(white));dot(A0,Fill(white));dot(B0,Fill(white));dot(C0,Fill(white));
label(italic("A"),A,NW);
label(italic("B"),B,SW);
label(italic("C"),C,SE);
label(italic("O"),c,W);
label("$A'$",A0,W);
label("$B'$",B0,S);
label("$C'$",C0,E);
label("$I$",i,S);
定理 2 设 $\triangle A B C$ 内接于圆 $O$. 圆 $I$ 切 $O$ 于不包含点 $A$ 的 $\overparen{B C}$ 上的一点. 过 $A, B, C$ 作圆 $I$ 的切线 $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$, 那么有
$$
a A A^{\prime}=b B B^{\prime}+c C C^{\prime}
$$
这里 $a, b, c$ 是 $\triangle A B C$ 的三边.
定理 3 (Casey不等式) 设 $\triangle A B C$ 是内接于圆 $O$ 的三角形, 设 $I$ 是使 $A, B, C$ 都不在其内部的圆. 过 $A, B, C$ 作圆 $I$ 的切线 $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$,那么有
(1) 如果圆 $O \cap$ 圆 $I=\varnothing$, 那么 $a A A^{\prime}, b B B^{\prime}, c C C^{\prime}$ 是一个三角形的边长.
(2) 如果圆 $O \cap$ 圆 $I \neq \varnothing$, 我们说:
交点在不包含点 $A$ 的 $\overparen{B C}$ 上, 那么 $a A A^{\prime} \geqslant b B B^{\prime}+c C C^{\prime}$.
交点在不包含点 $B$ 的 $\overparen{C A}$ 上,那么 $b B B^{\prime} \geqslant c C C^{\prime}+a A A^{\prime}$.
交点在不包含点 $C$ 的 $\overparen{A B}$ 上,那么 $a C C^{\prime} \geqslant a A A^{\prime}+b B B^{\prime}$.
当且仅当圆 $I$ 与圆 $O$ 相切时,等式成立.
证明 (1) 圆 $O \cap$ 圆 $I=\varnothing$, 设 $r$ 是圆 $I$ 的半径. 作圆 $\left(I, r^{\prime}\right)$ (与 $I$ 是同心圆, 半径为 $r^{\prime}$ ) 切圆 $O$ 于不包含点 $A$ 的 $\overparen{B C}$ 上的点. 不难看出 $r^{\prime} \geqslant r$. 分别作圆 $I$ 的切线 $A A^{\prime \prime}, B B^{\prime \prime}$, $C C^{\prime \prime}$, 这里 $A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}, C^{\prime \prime} \in\left(I, r^{\prime}\right)$. 由勾股定理,得
$$
A A^{\prime 2}+r^2=I A^2, A A^{\prime \prime 2}+r^{\prime 2}=I A^2 \text {. }
$$
于是 $A A^{\prime 2}=A A^{\prime \prime 2}+r^{\prime 2}-r^2$. 类似地
\begin{equation}
B B^{\prime 2}=B B^{\prime \prime 2}+r^{\prime 2}-r^2, C C^{\prime 2}=C C^{\prime \prime 2}+r^{\prime 2}-r^2 \text {. }
\end{equation}
由定理 2, 两边平方后得
\begin{equation}
a^2 A A^{\prime \prime 2}=b^2 B B^{\prime \prime 2}+c^2 C C^{\prime \prime 2}+2 b c B B^{\prime \prime} C C^{\prime \prime} .
\end{equation}
如果我们证明了 $b B B^{\prime}+c C C^{\prime} \geqslant a A A^{\prime} \geqslant\left|b B B^{\prime}-c C C^{\prime}\right|$, 那么 $a A A^{\prime}, b B B^{\prime}, c C C^{\prime}$ 是一个三角形的边长. 事实上, $b B B^{\prime}+c C C^{\prime} \geqslant a A A^{\prime}$ 等价于
$$
b^2 B B^{\prime 2}+c^2 C C^{\prime 2}+2 b c B B^{\prime} \cdot C C^{\prime} \geqslant a^2 A A^{\prime 2} .
$$
由 (1) 得
$$
b^2\left(B B^{\prime \prime 2}+r^{\prime 2}-r^2\right)+c^2\left(C C^{\prime \prime 2}+r^{\prime 2}-r^2\right)+2 b c B B^{\prime} \cdot C C^{\prime} \geqslant a^2 A A^{\prime 2} .
$$
由 (2) 得
$$
\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(r^{\prime 2}-r^2\right)-2 b c B B^{\prime \prime} \cdot C C^{\prime \prime}+2 b c B B^{\prime} \cdot C C^{\prime} \geqslant 0 .
$$
由 (1) 得…?¿没有得到后续的PDF页面😥
[281-282]《数学反思 2010-2011》(美)蒂图·安德雷斯库(Titu Andreescu)著
广告: ctrl.vi 将剪贴板中的图片(如SumutraPDF的Ctrl+selection得到的)粘贴到页面,并裁剪/批注 |
|
