Trisectrix of Maclaurin

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三倍角产生的一个有尖点的三阶虚圆点曲线（麦克劳林三等分角线）的几何性质
首先指出下面几类轨迹都是为麦克劳林三等分角线
(1)直线束和同心圆束:P在定直线x =$\frac32$上运动，以A(3, 0)为圆心过P作动圆与动直线OP交点B的轨迹为麦克劳林三等分角线

用左方代数区验证无误
(2)C在y轴上运动，AC交以$(-\frac32,0)$为圆心,过A$(\frac32,0)$的圆于D,取AE=CD,E点的轨迹为麦克劳林三等分角线

用左方代数区验证无误：$ \alpha-3 \beta=0$
这次用三点量角,结果直接等于0,虽然还要在右侧取点G,但更清晰,比刚才量直线和x轴的夹角好多了,但还出现一些弊端,点C移动到下面就取成优角了,变成$ \alpha-3 \beta=-540°$.

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(2)1.如果麦克劳林三等分角线（图中为红色）关于以F为圆心过A的圆（图中为黄色）反演，得到一个蚶线(又叫蚌线)（图中为绿色），关于以B为圆心过A的圆反演也得到一个蚶线（图中为蓝色）.

2.E关于黑色圆的极线的包络，也就是E关于黄色圆的极线与之交点J的轨迹，为环索线（图中为粉色）（我是用曲线方程算的：观察出顶点K(3,0),绘制$y^2 (-x - 3) + (x - \frac32)^2 (-x + 3) = 0$发现和轨迹重合。此性质征求几何证明）

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(3)抛物线的垂足曲线的特例：D是抛物线的焦点关于其准线的对称点，D在抛物线的动切线上的投影E的轨迹

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(3)1.过C作DE平行线交过A作的y轴平行线于F,则DE=DF

2.由1直接得出麦克劳林三等分角线的极坐标方程.若取点D(2a,0)为极点，DC为极轴，则方程可化为$ρ \cos( \fracθ3)=a$，2a就是抛物线的p.若取A(3a,0)为坐标原点，则方程可化为$ρ=4a(\cos \alpha-\sec \alpha)$
3.由1推出，麦克劳林三等分角线可以三等分任意角。在麦克劳林三等分角线上任取点E(ρ，θ)作以极半径ρ为斜边，定长a为直角边的直角三角形ABC，则$∠ABC=\fracθ3$，因而可用于将角θ三等分。
4.三等分角线是一种特殊曲线，指可用于将角三等分的曲线。例如，双曲线、蚌线(任何非退化三次曲线)、阿基米德螺线等都是三等分角线。
5.麦克劳林三等分角线关于x轴对称,渐近线为y轴,最值点$(\sqrt3±1.18a)$.有一个二重点,此处的切线与x轴成±60°
6.当以t为参数时,麦克劳林三等分角线的参数方程可表示为$x=\frac{a \sin 3t}{\sin t},y=\frac{a \sin 3t}{\cos t}$

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(4)A(4a,0),B(3a,0),C(2a,0),P在过B作的y轴平行线上运动,过E作OP平行线交BP于D,D在OP上的射影E的轨迹

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(5)A(3a,0),B(2a,0),C(-a,0),D在以AC为直径的圆上运动,过O作CD平行线和圆交于E,点E的轨迹是麦克劳林三等分角线.用ggb算出其轨迹方程为$x^4-2x^3+x^2y^2-3x^2+2xy^2+y^2=0$
,乍一看是四次曲线，然而ggb将D与C重合时E可取x=-1上任何点的情况算了进去，我们把原式除以x+1得到：$x^3+xy^2-3x^2+y^2=0$
若改为：A(3a,0),B(2a,0),C(-a,0),D在以AC为直径的圆上运动,过A作CD平行线和过D作y轴平行线交于E,则点E的轨迹是具有反折点的三阶虚圆点曲线
当a=1时，用ggb算出其轨迹方程为$x^4-8x^3+x^2y^2+18x^2+2xy^2+y^2-27=0$
,乍一看是四次曲线，然而ggb将D与C重合时E可取x=-1上任何点的情况算了进去，我们把原式除以x+1得到：$x^3+xy^2-9x^2+y^2+27x-27=0$，但是经验证它不是蔓叶线

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(5)是由(4)化来的：
在(4)中过D作x轴平行线交OE于C',将整个图形作C'到x轴上的平移就得到(5)

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性质(1)
由作图(1)而知麦克劳林三等分角线具有以下性质：设$B(-1,0),A(\frac32,0)$,则以AB为直径的圆过由B引麦克劳林三等分角线的切线的切点C,D,过B作直线与曲线的y轴右侧部分交于G,H,则GH中点的轨迹为弧CD

至于y轴左侧还有一个交点I,IH中点的轨迹是什么？

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补充8#:$(\frac32a,0)$为麦克劳林三等分角线的焦点

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(6)A(3,0),B(1,0),C在以AB为直径的圆上运动,过圆心作BC平行线交圆于D,过C,D引圆的切线的交点E的轨迹为麦克劳林三等分角线
点D有两个，为圆的对径点，由此得出的点E也有两个，它们对圆心的视角恒为直角，且它们的中点的轨迹是过B作的y轴的平行线，称为麦克劳林三等分角线的对径点

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性质(2)C在x轴上且$x_C>-1$,则由C可引麦克劳林三等分角线的两条切线,使得切点D,E在x轴上方,则DE中点在y轴上

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(7)A(2,0),B(3,0),C在过B作的y轴平行线上运动,D是C关于x轴的对称点,以A为圆心过C作圆与以C为圆心过D的圆再次交于E,则E的轨迹是麦克劳林三等分角线

性质(3)CE是以A为圆心过B的圆的切线
性质(4)三等分角线的对径点的中点的轨迹是一条三次虚圆点曲线并上一条圆A的竖直切线x=1

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(7)反映出性质(5):以焦点为圆心作任意圆,与麦克劳林三等分角线交于$M,M_1$,与过B的y轴平行线交于P,Q,则$PM=QM_1=PQ$