已知六边形ABCDEF的各边和对角线AD,BE,CF长,求AC,AE的长

hbghlyj

已知AB,BC,CD,DE,EF,FA,AD,BE,CF的长,求AC,AE的长.

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hejoseph

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    那个行列式与四面体 $ABCP$ 的体积有关，体积为 0 就是共面时的情形。点在形内形外计算下重心坐标，有了点到三顶点的距离就能确定重心坐标了。

hejoseph

另外，那个行列式是五阶行列式，实际计算是相当麻烦的，还不如记住另一种形式：
设
\begin{align*}
p_1&=(AB\cdot CP)^2\cdot(-AB^2+AC^2+BC^2+AP^2+BP^2-CP^2)\\
p_2&=(AC\cdot BP)^2\cdot(AB^2-AC^2+BC^2+AP^2-BP^2+CP^2)\\
p_3&=(BC\cdot AP)^2\cdot(AB^2+AC^2-BC^2-AP^2+BP^2+CP^2)\\
p&=(AB\cdot AC\cdot BC)^2+(AB\cdot AP\cdot BP)^2+(AC\cdot AP\cdot CP)^2+(BC\cdot BP\cdot CP)^2
\end{align*}
则四面体 $ABCP$ 的体积 $V$ 为
\[
V=\frac{\sqrt{p_1+p_2+p_3-p}}{12}
\]
行列式的值就等于 $2(p_1+p_2+p_3-p)$。

上面的 $p_1$、$p_2$、$p_3$、$p$ 是很好记的。$p_1$、$p_2$、$p_3$ 中前面的因式 $AB$ 和 $CP$、$AC$ 和 $BP$、$BC$ 和 $AP$ 分别是三组对棱，后面的因式是 $AB^2$、$AC^2$、$BC^2$、$AP^2$、$BP^2$、$CP^2$ 的代数和，跟前面因式的线段相同的取 $-$，其余取 $+$。$p$ 中（1）$AB$、$AC$、$BC$（2）$AB$、$AP$、$BP$（3）$AC$、$AP$、$CP$（4）$BC$、$BP$、$CP$ 分别是四面体 $ABCP$ 四面的三角形各边长。

青青子衿

\begin{gather*}
&\color{black}{\begin{split}
&\left|AB\right|=a&\qquad&\left|CD\right|=c&\qquad&\left|AC\right|=e\\
&\left|BC\right|=b&\qquad&\left|DA\right|=d&\qquad&\left|BD\right|=f
\end{split}}\\
\\
&\color{black}{\left\{\begin{split}  
p=&(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) e^2 - e^4\\
\\  
q=&(a^2 c^2 - b^2 d^2) (a^2 + c^2 - b^2 - d^2) + (a^2 - d^2) (b^2 - c^2) e^2\\  
\end{split}\right.}\\
\\
&\color{black}{\Large{e^2 f^4 -pf^2 +q=0}}
\end{gather*}