无法分离参数 如何是好？

facebooker

对$\forall x∈(0,1]$都有$a\sqrt{2x^2+2}+\frac{4}{ax-a-2}\geqslant 2a-2$恒成立,求实数$a$的取值范围

kuing

有没有抄错题？因为我只能得出 a=0

facebooker

回复 2# kuing

抱歉 大佬 这次题目对了。看看怎么搞？出题者只是提示两个字： 硬撸。

kuing

回复 3# facebooker

貌似也不需要怎么硬吧，软也能搞。

还是有点类似于上次这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=6215，所以用的方法也类似。

令 `f(x)=\text{左边}-\text{右边}`，易知 `f(1)=f'(1)=0`，所以必须 `f''(1)\geqslant0`，由此可得 `0\leqslant a\leqslant1/2`，这是必要性，下面证明它是充分的。

当 `0\leqslant a\leqslant1/2` 时，将 `f(x)` 的 `x` 视为常数，对 `a` 求二阶导数，得
\[\bigl( f(x) \bigr)''_a=-\frac{8(x-1)^2}{(2+a-ax)^3}\leqslant0,\]可见关于 `a` 是上凸的，因此只需证明当 `a=0` 以及 `a=1/2` 时均满足题意即可，显然 `a=0` 时 `f(x)` 恒为零，故剩下 `a=1/2` 时，此时
\[f(x)=\sqrt{\frac{x^2+1}2}+\frac8{x-5}+1,\]而
\[\frac{x^2+1}2-\left(\frac8{x-5}+1\right)^2=\frac{(x-7)(x-1)^3}{2(x-5)^2}\geqslant0,\]从而得证。

其妙

回复  kuing

抱歉 大佬 这次题目对了。看看怎么搞？出题者只是提示两个字： 硬撸。 ...
facebooker 发表于 2019-8-18 22:25

果然，强撸还是有用的（约掉零因子），实际上，只要你撸起袖子加油干，就会发现有不少奇迹等着你！最后的奇迹就是，你以为不能分离参数的，实际上却是可以分离参数的！

其妙

这儿有一道题。看看怎么证明？：

kuing

回复 6# 其妙

与楼主的题有关吗？无关的话建议开新帖。

其妙

回复  其妙

与楼主的题有关吗？无关的话建议开新帖。
kuing 发表于 2019-8-21 17:59

和你的解题中提到的有些关系

其妙

某人做的（怎么形容呢？）

其妙

这里也有一个似乎不好分离参数来做的题目：