函数 $f(f(x))=ax^2+bx+c$ 的问题

Infinity · 发表于 2019-8-25 14:26

R. E. Rice; B. Schweizer; A. Sklar在文章 When is f(f(z)) = az^2 + bz + c?中给出了结论：

THEOREM 3. Let P be a quadratic polynomial defned on the complex plane C. Then P has no
iterative roots of order 2, i.e., there exists no function f whatever such that,f(f(z))=P(z) for all z in C.

也就是说，在复平面内，二次多项式不存在阶数为2的解析迭代根。

对于更一般的问题 f(f(x))=g(x)，mathoverflow网站上有人已经讨论过，点这里进入。
更多关于迭代根或者分数次迭代相关参考资料，见 reglos.de/lars/ffx.html#Targonski81

Infinity · 发表于 2019-8-25 14:35

但若将求解范围限定到实数域，那么解并不唯一，可以精心构造，但结果并不好看。

如果存在实不动点，那么在不要动点附近展开为幂级数，然后代入方程反求系数。相关信息见 bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pti ... 570&fromuid=8865