函数 $f(f(x))=ax^2+bx+c$ 的问题

Infinity

R. E. Rice; B. Schweizer; A. Sklar在文章 When is f(f(z)) = az^2 + bz + c?中给出了结论：

THEOREM 3. Let P be a quadratic polynomial defned on the complex plane C. Then P has no iterative roots of order 2, i.e., there exists no function f whatever such that $f(f(z))=P(z)$ for all z in C.

也就是说，在复平面内，二次多项式不存在阶数为2的解析迭代根。

对于更一般的问题 f(f(x))=g(x)，mathoverflow网站上有人已经讨论过，点这里进入。
更多关于迭代根或者分数次迭代相关参考资料，见 reglos.de/lars/ffx.html#Targonski81

Infinity

但若将求解范围限定到实数域，那么解并不唯一，可以精心构造，但结果并不好看。

如果存在实不动点，那么在不要动点附近展开为幂级数，然后代入方程反求系数。相关信息见 bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&go … d=5811&pid=55570

kuing

回复 22# Infinity

谢谢提供资料（虽然大部分看不懂

hejoseph

其实这个问题我知道在复数域内是无解析解的，也知道在实数域内有无数个函数满足条件，题目要求的是某个自变量的函数值域，这个对于特殊的二次函数我做过，不太难的，因此引申到一般二次函数的情形。
目前还没什么结论。

hejoseph

zhihu.com/question/340104755
这里讨论了满足 $f(f(x))=x^2+1$ 时 $f(1)$ 的取值范围是 $(1,2)\cup(2,5)$。

nttz

isee 发表于 2019-8-24 17:03
回复 11# kuing

找到个例题，函数迭代与函数方程 王伟叶，熊斌 著

证明中考查f(c)，f(a) = f(f(c))= g(c) =d 为什么说f 映射到自身矛盾？题设中没有说f的性质啊

hbghlyj

nttz 发表于 2022-8-24 12:17
为什么说f 映射到自身矛盾？题设中没有说f的性质啊 ...

设 $y \in\{a, b\}$ ，则 $f(y)=g(f(y))$ ，即 $f(y)$ 也是 $g$ 的不动点，因此 $f(y) \in\{a, b\}$ ．再设 $z \in\{a, b, c, d\}$ ，则由于
$$
f(g(g(x)))=f^{(5)}(x)=g(g(f(x))),
$$
故 $f(z)$ 是 $g \circ g$ 的不动点，这样 $f(z) \in\{a, b, c, d\}$ ．
考察 $f(c)$ ，它一定在集合 $\{a, b, c, d\}$ 中．如果 $(c)=a$ ，则 $f(a)=f(f(c))=g(c)=d$ ，这和 $f$ 将 $\{a, b\}$ 映射到自身相矛盾．同理 $f(c) \neq b$ ．如果 $f(c)=d$ ，则 $f(d)=f(f(c))=g(c)=d$ ，这样

nttz

感觉这个东东好抽象，在初等里面算难的吧