求证一个不等式

lemondian

求证一个不等式：
已知：$a,b\inR，a+b=4，$求证：$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{2b^2+12}\geqslant 3\sqrt{5}$.

kuing

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其妙

这里有柯西不等式的证法和切线法的证法和光学折射（都是早已熟知的做法了，至少我在2012年左右人教论坛的时候就写过类似的解答）
柯西不等式的证法：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102yvt6.html
切线法的证法：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102yvt7.html
这两种证法要么先猜到取等条件，那么过程就是轻而易举的事情；要么待定系数法解方程组（如果方程组不好解，也可以猜方程组的解）
暂没有光学折射的做法。
其实还可以对第二个根号进行放缩，使$b^2$的系数变成1，然后用闵科夫斯基不等式秒杀!
本题除了最小值，还有最大值（by anzhengping）），详见下面：

但没有证明过程。

hbghlyj

其妙 发表于 2019-8-24 14:35
柯西不等式的证法：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102yvt6.html
切线法的证法：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102yvt7.html

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