两个不等式 求个思路

facebooker

1)$a,b,c>0.\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=a+b+c$
Prove:\[\dfrac{1}{(2a+b+c)^2}+\dfrac{1}{(2b+c+a)^2}+\dfrac{1}{(2c+a+b)^2}\leqslant \frac{3}{16}\]

2)$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=2$
Prove:\[\sum\dfrac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}\leqslant \frac{2}{3}\]

kuing

1)$a,b,c>0.\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=abc$
Prove:\[\dfrac{1}{(2a+b+c)^2}+\dfrac{1}{(2b+c+a)^2}+\dfrac{1}{(2c+a+b)^2}\leqslant \frac{3}{16}\]facebooker 发表于 2019-9-6 17:44

（1）抄错题风险提示：
我之前在 forum.php?mod=viewthread&tid=6340 证过待证式相同但条件不同的题。

kuing

2)$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=2$
Prove:\[\sum\dfrac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}\leqslant \frac{2}{3}\]facebooker 发表于 2019-9-6 17:44

（2）为何不干脆写成 `\sum\tan A\tan B`？？

由条件可令 `\cos^2A=(y+z)/(x+y+z)` 等，其中 `x`, `y`, `z>0`，则
\[
\abs{\tan A}=\sqrt{\frac1{\cos^2A}-1}=\sqrt{\frac x{y+z}},
\]所以
\begin{align*}
\LHS&\leqslant\sum\abs{\tan A\tan B}\\
&=\sum\sqrt{\frac{xy}{(y+z)(z+x)}}\\
&\leqslant\frac12\sum\left( \frac y{y+z}+\frac x{z+x} \right)\\
&=\frac32.
\end{align*}

facebooker

回复 2# kuing


多谢提醒 已经改正