三角函数的值域问题，如何证明是(-3,3)

hbghlyj

对任意实数x,y$\in$(0,2π)，求函数y=$\cos{x^2}+\cos{y^2}-\cos{xy}$的取值范围

hbghlyj

回复 1# hbghlyj
二元函数介值定理若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,且M与m分别是函数(x,y)在D上的最大值与最小值,a是介于最大值M与最小值m间的任一数值,即m≤a≤M,则存在(x,y)∈D,使得f(x,y)=a.

kuing

见：forum.php?mod=viewthread&tid=4248

hbghlyj

但这题f的定义域是$(0,2π)^2$，原贴中构造失效了？

kuing

回复 4# hbghlyj

哦，不好意思，我没注意这题有 x,y∈(0,2π)。
这样的话，直觉告诉我，这时值域就不是 (-3,3) 了，而且精确范围求不出。

hbghlyj

回复 5# kuing
wolfram算出max{cos(x^2) + cos(y^2) - cos(x y)|0<x<2 π ∧ 0<y<2 π}≈2.99322 at (x, y)≈(5.60962, 6.14348)
min{cos(x^2) + cos(y^2) - cos(x y)|0<x<2 π ∧ 0<y<2 π}≈-2.9773 at (x, y)≈(4.69723, 3.97614)
所以我认为范围还是(-3,3)

kuing

回复 6# hbghlyj

不可能是 (-3,3)，理由如下。

假如定义域不是 x,y∈(0,2π)，而是 x,y∈[0,2π]，那么值域也一定是一个闭区间 [a,b]，理由是闭区间上的连续函数一定存在最大最小值，而 3# 的链接已经证明了取不了 ±3，可见 -3<a<b<3，即 [a,b]⊂(-3,3)。

那么，当定义域是 x,y∈(0,2π) 时，定义域更窄了，值域不可能更宽，所以不可能是 (-3,3)。