结式矩阵的Barnett分解

青青子衿

\begin{gather*}   
\det\begin{pmatrix}   
a_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}&\\   
&a_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}\\     
b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}&\\      
&b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}\\      
\end{pmatrix}\\   
\\   
=\det\left(  
\begin{bmatrix}   
b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}\\   
-b_{\overset{\,}{2}}& 0\\   
\end{bmatrix}   
\begin{bmatrix}   
a_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}\\   
0 &a_{\overset{\,}{0}}\\   

\end{bmatrix}-  
\begin{bmatrix}   
a_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}\\   
-a_{\overset{\,}{2}}&0\\
\end{bmatrix}   
\begin{bmatrix}   
b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}\\   
0 &b_{\overset{\,}{0}}\\   
\end{bmatrix}\right)\\   
\\   
=   
\,\det\begin{pmatrix}   
a_{\overset{\,}{1}}b_{\overset{\,}{0}}-a_{\overset{\,}{0}}b_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}b_{\overset{\,}{0}}-a_{\overset{\,}{0}}b_{\overset{\,}{2}}\\   
a_{\overset{\,}{0}}b_{\overset{\,}{2}}-a_{\overset{\,}{2}}b_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}b_{\overset{\,}{2}}-\,a_{\overset{\,}{2}}b_{\overset{\,}{1}}\\   
\end{pmatrix}   
\end{gather*}

\begin{gather*}  
\det\begin{pmatrix}  
a_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}&a_{\overset{\,}{3}}&\\  
&a_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}&a_{\overset{\,}{3}}\\   
b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}&&\\      
&b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}&\\      
&&b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}\\   
\end{pmatrix}\\  
\\  
=\det\left(
\begin{bmatrix}  
b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}& 0 \\  
b_{\overset{\,}{2}}& 0 & 0 \\  
0 & 0 & 0 \\  
\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}  
a_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}\\  
0 &a_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}\\  
0 & 0 &a_{\overset{\,}{0}}\\  
\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix}  
a_{\overset{\,}{1}}&a_{\overset{\,}{2}}&a_{\overset{\,}{3}}\\  
a_{\overset{\,}{2}}&a_{\overset{\,}{3}}& 0 \\  
1 & 0 & 0 \\  
\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}  
b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}&b_{\overset{\,}{2}}\\  
0 &b_{\overset{\,}{0}}&b_{\overset{\,}{1}}\\  
0 & 0 &b_{\overset{\,}{0}}\\  
\end{bmatrix}\right)\\  
\\  
=  
\,\det\begin{pmatrix}  
a_{\overset{\,}{0}}b_{\overset{\,}{1}}-a_{\overset{\,}{1}}b_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{0}}b_{\overset{\,}{2}}-a_{\overset{\,}{2}}b_{\overset{\,}{0}}&-a_{\overset{\,}{3}}b_{\overset{\,}{0}}\\  
a_{\overset{\,}{0}}b_{\overset{\,}{2}}-a_{\overset{\,}{2}}b_{\overset{\,}{0}}&a_{\overset{\,}{1}}b_{\overset{\,}{2}}-\,a_{\overset{\,}{2}}b_{\overset{\,}{1}}-a_{\overset{\,}{3}}b_{\overset{\,}{0}}\,&-a_{\overset{\,}{3}}b_{\overset{\,}{1}}\\  
-b_{\overset{\,}{0}}&-b_{\overset{\,}{1}}&-b_{\overset{\,}{2}}\\  
\end{pmatrix}  
\end{gather*}