切比雪夫多项式

hbghlyj

r和$\cos{r\pi}$均为有理数，证明：$\cos{r\pi}\in\{0,\pm\frac12,\pm1\}$

hbghlyj

证明
\[ T_n (x) = \frac{ (-2)^n n! } { (2n)!} \sqrt{ \left(1-x^2 \right) } \frac{ d^n } { dx^n } \left( 1 - x^2 \right) ^ { \frac{n-1}{2} }. \]

kuing

回复 1# hbghlyj

为方便叙述，用 `1[x]` 表示关于 `x` 的最高次项系数为 `1` 的多项式。

若 `1[x]` 有有理根，则必为整数根。

由切比雪夫多项式的性质知，对任意正整数 `n` 有 `2\cos(n\theta)=1[2\cos\theta]`。

取 `\theta=m\pi/n`，则 `\pm2=2\cos(m\pi)=1[2\cos(m\pi/n)]`，故当 `2\cos(m\pi/n)` 为有理数时它就只能是整数，从而 `\cos(m\pi/n)\in\{-1,-1/2,0,1/2,1\}`。

hbghlyj

如何证明第二类切比雪夫多项式$U_n(x),n>1$都是可约的? 因式个数可以写成$n$的简单的函数吗
$n=2,(2 x-1) (2 x+1)$
$n=3,4 x \left(2 x^2-1\right)$
$n=4,\left(4 x^2-2 x-1\right) \left(4 x^2+2 x-1\right)$
$n=5,\left(4 x^2-2 x-1\right) \left(4 x^2+2 x-1\right)$
$n=6,\left(8 x^3-4 x^2-4 x+1\right) \left(8 x^3+4 x^2-4 x-1\right)$
$n=7,8 x \left(2 x^2-1\right) \left(8 x^4-8 x^2+1\right)$
$n=8,(2 x-1) (2 x+1) \left(8 x^3-6 x-1\right) \left(8 x^3-6 x+1\right)$
$n=9,2 x \left(4 x^2-2 x-1\right) \left(4 x^2+2 x-1\right) \left(16 x^4-20 x^2+5\right)$
$n=10,\left(32 x^5-16 x^4-32 x^3+12 x^2+6 x-1\right) \left(32 x^5+16 x^4-32 x^3-12 x^2+6 x+1\right)$
$n=11,4 x (2 x-1) (2 x+1) \left(2 x^2-1\right) \left(4 x^2-3\right) \left(16 x^4-16 x^2+1\right)$

hbghlyj

kuing 发表于 2019-11-27 19:05
为方便叙述，用 `1[x]` 表示关于 `x` 的最高次项系数为 `1` 的多项式。

若 `1[x]` 有有理根，则必为整数根。

由切比雪夫多项式的性质知，对任意正整数 `n` 有 `2\cos(n\theta)=1[2\cos\theta]`。

取 `\theta=m\pi/n`，则 `\pm2=2\cos(m\pi)=1[2\cos(m\pi/n)]`，故当 `2\cos(m\pi/n)` 为有理数时它就只能是整数，从而 `\cos(m\pi/n)\in\{-1,-1/2,0,1/2,1\}`。

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