求椭圆中两个结论的证明

lemondian

1.已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),P(x_0,y_0)$是椭圆$C$内一点，过$P$点作直线$m:\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$的垂线，垂足为$M$，过$P$点的任一直线$l$与椭圆$C$交于$A,B$两点，则有$\angle AMP=\angle BMP$。
2.已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),P(x_0,y_0)$是椭圆$C$外一点，过$P$点作直线$m:\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$的垂线，垂足为$M$，过$P$点的任一直线$l$与椭圆$C$交于$A,B$两点，则有$\angle AMP=180^o-\angle BMP$。
求解析法或平几方法证明过程。

kuing

两个结论其实是同一个结论。
实际上是调和点列的事：
`\triangle MAB` 中，`\angle AMB` 的内角平分线及外角平分线分别交 `AB` 于 `P`, `Q`，则 `A`, `P`, `B`, `Q` 是调和点列。
反之：
若 `A`, `P`, `B`, `Q` 是调和点列，点 `M` 满足 `PM\perp MQ`，则 `PM`, `MQ` 分别是 `\angle AMB` 的内角平分线及外角平分线。

所以其实没椭圆什么事。

12673zf

回复 2# kuing
平面几何里调和点列的性质我知道，但这个椭圆怎么看出来是调和点列的？从要证明的结果逆推？

kuing

回复 3# 12673zf

由 P 的坐标与直线 m 的方程可知它们互为极点极线，因此过 P 的直线 AB 与直线 m 的交点就是调和第四点，也就是 2# 的 Q。

12673zf

回复 4# kuing

之前在手机上看没看清点和直线方程，没注意到这点（虽然注意到了应该也想不到是调和），谢谢！

lemondian

回复 2# kuing
如果不用调和的知识，有没有其它做法？

kuing

回复 6# lemondian

不知道……
PS、刚发现 2# 打错了个字母，现已修正