三角形中 $4a^2=b^2+2c^2$ 求 $S/a^2$ 最大值

lemondian

在$\triangle ABC$中，设角$A,B,C$对应的边分别为$a,b,c$，记$\triangle ABC$的面积为$S$，且$4a^2=b^2+2c^2$，求$\dfrac{S}{a^2}$的最大值。

kuing

设点 `A` 在直线 `BC` 上的投影为 `D`，记 `AD=h`，则由勾股定理及 CS 有
\begin{align*}
4a^2&=b^2+2c^2\\
&=h^2+DC^2+2(h^2+DB^2)\\
&=3h^2+\frac23\left( 1+\frac12 \right)(DC^2+2DB^2)\\
&\geqslant3h^2+\frac23(DC+DB)^2\\
&\geqslant3h^2+\frac23a^2,
\end{align*}由此得到
\[
\frac ha\leqslant\frac{\sqrt{10}}3\riff\frac S{a^2}=\frac h{2a}\leqslant\frac{\sqrt{10}}6,
\]取等懒得理……

敬畏数学

$ \frac{S}{a^2} =\frac{\frac{1}{2}bcsinA}{a^2}=\frac{bc\sqrt{1-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2}}{2a^2}=\frac{\sqrt{-9b^4-4c^4+52b^2c^2}}{4(b^2+2c^2)}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{-9b^4-4c^4+52b^2c^2}{b^4+4c^4+4b^2c^2}}$,设$\frac{c^2}{b^2}=x$,求导得：$ x=\frac{11}{14} $取得最大值，最大值为$ \frac{\sqrt{10}}{6}$.

敬畏数学

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread& … &page=1#pid20079借鉴套路。

lemondian

感谢两位的解答

isee

回复 2# kuing

刚才服务器中断，打的公式全部没了……


这解法相当自然啊，学习了。

虽然高考过去好久了，下次高考就要来了，还是没写题的动力。

不过，今天发现此题是广州12月高三理科调研第16题，没办法就动手自己写写了，写了了发现并不是特别容易。

由$$16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c),$$
可得$$16S^2/a^4=(1+x+y)(-1+x+y)(1-x+y)(1+x-y),$$
其中$$x=\frac ba,y=\frac ca,$$
则条件$$b^2+2c^2=4a^2\iff x^2+2y^2=4\Rightarrow x^2=4-2y^2,$$
进一步，对目标式消$x$有
\begin{align*}
16S^2/a^4&=(1+x+y)(-1+x+y)(1-x+y)(1+x-y)\\
&=\cdots\\
&=-3y^4+22y^2-9\\
&\leqslant \frac {40}9
\end{align*}

于是$$\frac S{a^2}\leqslant \frac {\sqrt{10}}6,$$
取等时，与3#等价。

facebooker

回复 2# kuing

这解法应该推崇 但是很多一题多解 都把这个解法放在最后 实在不能理解

kuing

回复 7# facebooker

大概可能是这类题很少会往在图形上作线的方向去想吧……

我的想法其实是固定 `a`，变成求面积最大，也就是高最大，于是很自然就把高作出来，再用勾股定理搞到条件上……

kuing

回复 6# isee

最近的确很少看到你撸题呢

你需要啥动力呢？

longma

用建系解析法，也很常规 ，最易被学生接受！这道题 近段时间 很有名 ，单尊先生 也给出过解法。

其妙

用建系解析法，也很常规 ，最易被学生接受！这道题 近段时间 很有名 ，单尊先生 也给出过解法。 ...
longma 发表于 2020-1-1 16:27

单墫先生是如何解的，能贴上来吗？其它的解答呢？

kuing

今天人教群里又见这题，再回一个：

利用 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread& … &page=1#pid20079 里 16# 的结论：
\[(ua^2+vb^2+wc^2)^2\geqslant16(vw+wu+uv)S^2,\]令 `v=1`, `w=2`，变成
\[(ua^2+b^2+2c^2)^2\geqslant16(2+3u)S^2,\]代入条件 `b^2+2c^2=4a^2` 变形为
\[\frac{S^2}{a^4}\leqslant\frac{(u+4)^2}{16(2+3u)},\]取 `u=8/3` 开荒即得
\[\frac S{a^2}\leqslant\sqrt{\frac5{18}}=\frac{\sqrt{10}}6.\]

kuing

还想起了这帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3334

isee

回复 6# isee

今天再看，当时想法就是多元归一，齐次立功。

与12#差距太远了。