一道三元分式不等式

lemondian

若$a,b,c$为正数，且$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geqslant a+b+c$。求证：$\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8c^2}}\geqslant 1$。

kuing

一看就联想到 IMO42 不等式，于是自然就想到了 holder，果然也是可行的。

由 \holder 不等式有
\[\left( \sum\frac1{\sqrt{1+8a^2}} \right)^2\sum b^3c^3(1+8a^2)\geqslant\left( \sum bc \right)^3,\] 故只需证
\[\left( \sum bc \right)^3\geqslant\sum b^3c^3(1+8a^2),\quad(*)\]注意到 `(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)`，故
\[\left( \sum bc \right)^3-\sum b^3c^3=3abc(a+b)(b+c)(c+a),\]所以式 (*) 等价于
\[3(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant8abc(ab+bc+ca),\]熟知有
\[\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}8\geqslant\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}9,\]所以只需证
\[a+b+c\geqslant3abc,\]由条件，有
\[a+b+c\geqslant\frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}\geqslant\frac{3(ab+bc+ca)}{\frac1a+\frac1b+\frac1c}=3abc,\]即得证。

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lemondian

回复 2# kuing
谢谢！
由条件，有-->这一行看得不是很懂。
还有，此题能用琴生做吗？

kuing

回复 3# lemondian

自己想；
不知道。