极值问题

敬畏数学

$  y=\dfrac{a^2}{4}（lnx）^2-x-\dfrac{1}{x}+2$在$x=1 $处取得极大值，求a的范围

业余的业余

显然不论 $a$ 取何值，恒有 $y'(1)=0$.

$y''(1)<0 \iff -2<a<2$。现在主要需要考虑 $a=\pm 2$ 时是不是极大值点。应该有$a=\pm 2$ 时 $y^{(3)}(1)=0, y^{(4)}(1)<0$, 根据泰勒展开式易知此时是极大值点。我没有算，从图像上看应该成立。估计答案是  $-2\leqslant a \leqslant 2$