对合笔记

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虽然看不懂 也帮顶了 能把老封弄来就更完美了。

hbghlyj

我们开始讲第三部分——“一条射影直线的全部点”上的对合变换，“过一个点的所有直线”上的对合变换，“一个二次曲线上的所有点”的对合变换，“一个二阶曲线上所有切线”的对合变换中的——“一个二次曲线上的所有点”的对合变换
最简单的二次曲线是圆，圆上“取对径点”这个操作是个对合变换
为什么是一个对合变换呢？定义“一对对合线和圆的交点”为一组对合对应点
然后我们有这是一个对合映射（显然）和一个射影变换（圆上的点交比就是线束交比+原来的对合变换）
共轴圆组和一个圆取交点也是一个对合
反演可以很轻松地说明它是个对合映射，但是怎么说明它是个射影变换呢？
注意：反演肯定不保一般锥线上的交比，一般锥线反演完后都不是锥线了
这个反演的话，反演中心在圆上，圆的交比可以变线束交比，反演不变，但是它保不保圆上的交比我还真没想过*取跟根轴的交点,然后做一个反演
总结一下：反演保交比，以根轴与圆心轴交点做反演，圆反演为直线，直线截共轴圆可构成对合
这个思路是正确的，不过没必要那么麻烦。我们可以形式上不用反演。做直线截共轴圆构成对合保交比过去
如何使用直径证明第一个共轴圆组的例子是对合？只需要证共线，共线只用导角。所以说是形式上不用反演。如果用反演的话，这些共线共点的证明全部包在反演的建立过程中了。（相当于证了一遍反演的某些性质）
这个对合，把对合的一对点两两连起来，有共点，共点到它们的根心
那么反过来呢？如果从一个点出发，交圆与一对对点，这一对对点是不是一定是一组对合呢？ 这块你没办法用线束在反演里面不变作简单的证明
这一对对点是不是一定是一组对合呢？具体一些，我们如果导交比，一定会用到线束交比的。相似加正弦定理是可行的。圆上的交比有个很好的性质，由于正弦定理的存在，可以直接表示为线段比。可以直接导导相似比，就出来了。
回顾：锥线上四点的交比定义为锥线上一点对锥线上四点的线束交比。锥线有“这个交比是常数”的性质
我们的确可以使用正弦，而且甚至可以暴力地直接把刚才那个共轴圆组构造出来
我们现在已经有两种证法了……直到现在还没有讲正常的射影证法
导正弦和作共轴圆组都没法推广到一般二次曲线，我们怎么能找一种完全射影的方法呢？
首先，问一个问题：当我们在验证一个对合映射是射影变换的时候，我们都可以怎么做？
我们验证对合一般有两种思路，一种是直接暴力验证：
以A'为透视点看ABCD，射影在O的极线上，再将点列从A'看射影回锥线上
（WAD'共线这些东西需要用到布洛卡定理）
还有一种是像我两天前证迪沙格对合定理，验证两组对合映射之间保交比：
就是说，我们实际上只需要验证C(Bf(B)|AD)=(f(B)B|f(A)f(D))
也就是说，（Bf(B)PQ）=（f(B)B|P'Q'）

作C切线笛沙格对合两次.在退化四边形CCAf(A)中使用迪沙格对合定理，有Bf(B)，OO'，PP'在同一组对合中,同理，Bf(B)，OO'，QQ'在同一组对合中,故Bf(B)，PP'，QQ'在同一组对合中，则Bf(B)，Af(A)，Df(D)在同一组对合中
由一个点所引出的直线束交二次曲线的每一对点属于同一组对合,而我们可以很轻松地把我们的证明过程翻过来
最简单的方法是射影变换把锥线变成圆，但过于耍赖皮:)

hbghlyj

我们现在正反两方面都证明了这个结论：长这样的就是锥线上的对合，而且锥线上的对合都长这样
这说明锥线上的对合与射影平面上的点存在一一对应的关系（当然，要挖掉锥线上的所有点）、
于是我们就有理由给这个点起个名字了。它叫这个对合变换的对合中心。没错，又是对合中心，和点列的那个重名了。在直线视作圆的极限时，这两个对合中心是一样的。
确认一下，O不能在锥线上，否则没法交一对点
如果它们对合，那么$Bf(B)，PP'，QQ'$在同一组对合中，而由迪沙格对合定理，$Bf(B)，PP'，O'O_1$在同一组对合中，$Bf(B)，O'O_2，QQ'$在同一组对合中，所以$O_1$和$O_2$重合，即这个点存在
的确是同一，但不是直接应用定理本身的那种同一
习题
1在“一个二次曲线上的所有点”的对合变换中，迪沙格对合定理长啥样？
就是说，这种情况下的“截一个二次曲线系出对合”应该怎么叙述？

hbghlyj

回复 18# hbghlyj
共轴圆组切线那个例子不在根轴上那种是错的
如何证明这是个错的呢？只需要说明这个关系不是一个对合映射即可。我们在这个共轴圆组里面取两个不内含的圆，作它们的一条公切线交根轴于O，然后O对这两个圆的分别的另一条切线不可能重合，于是这不可能是个对合变换
所以说在不在根轴上都不行。这是一个彻头彻尾的失败推广。。
那么回到当时的情况，我们试图用共轴圆组绕开点列直接构造线束对合变换，现在看没可能了（悲）
圆的构造是基于笛沙格对合的。而笛沙格对合并没有给出合适的形式
我们还有其它的备选方案。。它涉及到一大堆前置知识（纯几何吧2700，2900），以及有至少一种使用迪沙格对合而不是迪沙格对合对偶的方法。。
例子：△ABC外接圆上一点（实际上是任意点）关于切△ABC的所有抛物线的两条切线形成一个线束对合

hbghlyj

二次点列的迪沙格对合是什么呢？普通迪沙格是拿一条直线去截二次曲线系，而二次曲线的迪沙格是拿一条锥线去截。而二阶曲线是线束的包络，所以它应该和过定点的线束更相似。这么说来，第一和二种情况应当是三和四的退化。
一个例子是拿一个圆去截共轴圆组，截出来的东西都过根心。于是是一个对合，一般地，共轴圆组相当于过两个圆环点和根轴上两个公共点的四点形的外接二次曲线族。
二次曲线截二次曲线四个交点怎么办？之前的圆截共轴圆组中，截的圆也过两个圆环点，那么这里的二次曲线过曲线系四个定点之二，另外两点为对合对应点。下面这个涉及到更广一点的对称性
证明：把两个公共点射影到两个圆环点，用根心定理。
纯几何吧3235对合专题