19-20苏州,无锡,常州,镇江高三二模附加压轴数列不等式

aishuxue

已知数列$\{a_n\}$中, $a_1=6$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n^2-a_n+3$.
证明: 当$n\geqslant3$时, $\sum_{i=2}^n(\dfrac{a_i}{6})^{\dfrac{2}{i}}>2(\dfrac{3}{2})^n-3$.

facebooker

是想要跟参考答案的数学归纳法不同的解法吗？应该没了吧

战巡

回复 1# aishuxue


  大水母吧...

\[a_{n+1}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}(a_n-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\]
这样意味着
\[a_{n+1}-\frac{3}{2}>\frac{1}{3}(a_n-\frac{3}{2})^2\]
有
\[a_{n}-\frac{3}{2}>3\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}}\]
\[a_n>3\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}}+\frac{3}{2}\]
你们知道这个玩意有多大么？
\[\frac{a_n}{6}\cdot n-\left[2(\frac{3}{2})^n-3\right]>\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}}+\frac{n}{4}-\left[2(\frac{3}{2})^n-3\right]\]
\[=(\frac{3}{2})^n\cdot\left(\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}-n}-2\right)+\frac{n}{4}+3\]
这里面当$n\ge 3$时就有$\left(\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}-n}-2\right)>0$了，$n=2$时整个的值为$\frac{5}{4}>0$

也就是说，光是求和的最后一项就已经远远大于右边了，更别说还要加上前面的一大堆

kuing

回复 3# 战巡

由于 \dfrac 被滥用，以至于上标也变成大的分式，所以左边的 $\sum_{i=2}^n(\dfrac{a_i}{6})^{\dfrac{2}{i}}$  不是  $(\dfrac{a_i}6)\ i$  是  $(\dfrac{a_i}6)^{\frac2i}$……