函数证明，极值点偏移

皮卡丘族长

已知f（x）=$\ln x+\frac{2}{x}$求证：当f（m）=f（n）时，m+n≥4.

isee

回复 1# 皮卡丘族长

极典型的纯正极值点偏移啊

isee

回复 2# isee


    当然，我未动笔，“构造函数差”也许难算。。。


    从对数均值不等式角度出发试试

\begin{align*}
m&\ne n\\[1em]
\ln m-\ln n&=\frac 2n-\frac 2m=\frac {2(m-n)}{mn}\\[1em]
\sqrt{mn}<\frac {m-n}{\ln m-\ln n}&=\frac {mn}2<\frac {m+n}2\\[1em]
\Rightarrow mn&>4\\[1em]
\Rightarrow m+n&>4
\end{align*}

isee

回复 3# isee


当$m\ne n$时，构造$$F(x)=f(2-x)-f(2+x),0<x<2,$$ $F(x)$的导数也是好求的，求导后导数大于零。


类似于forum.php?mod=viewthread&tid=5238

皮卡丘族长

回复 4# isee


    哦，原来如此，非常感谢.