积分不等式

APPSYZY

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续导数。$f(0)=0, f(1)=0$. 证明$$\int_0^1 f^2(x) d x \leq \frac{1}{8} \int_0^1 {f'}^2(x)\rmd x .$$

APPSYZY

系数为1/4证出来了，1/8证不出来

APPSYZY

但是感觉1/8这个系数还可以更小，不知最小可以是多少...

青青子衿

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但是感觉1/8这个系数还可以更小，不知最小可以是多少...
APPSYZY 发表于 2020-6-9 16:56

将\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上展开为正弦级数
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(n\pi\,\!x\right)\]
则有
\[f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\big(n\pi\big)\,\!b_n\sin\left(n\pi\,\!x\right)\]
由帕塞尔(Parseval)等式，可知
\begin{align*}
\int_0^1\!f^2(x)\,\mathrm{d}x&=\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}\!^2\\
\int_0^1\!\Big(f'(x)\Big)^2\,\mathrm{d}x&=\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\big(n\pi\big)^2{b_n}\!^2=\dfrac{\pi^2}{2}\sum_{n=1}^{\infty}n^2{b_n}\!^2\\
&\geqslant\dfrac{\pi^2}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}\!^2=\pi^2\cdot\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}\!^2\\
&=\pi^2\int_0^1\!f^2(x)\,\mathrm{d}x
\end{align*}
于是，有\(\,\displaystyle\int_0^1\!f^2(x)\,\mathrm{d}x\leqslant \dfrac{1}{\pi^2}\int_0^1\!\Big(f'(x)\Big)^2\,\mathrm{d}x\,\)，
等号当且仅当\(\,f(x)=\sin(\pi\,x)\,\)时取得.

APPSYZY

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是怎么想到利用正弦级数展开的？好厉害！

abababa

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这个$f(0)=f(1)=0$的条件是怎么用的？这应该是个很关键的条件吧，没有这个条件，像$f(x)=x$这样的函数就不能满足那个不等式。

青青子衿

[讨论] 一个积分型不等式的证明
bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=9121

青青子衿

回复 6# abababa