数列极限与函数

APPSYZY

已知函数$f(x)$可导，且$f(0)=1$，$0<f'(x)<\dfrac{1}{2}$，设数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1}=f(x_n)$ $(n=1,2,\cdots)$. 证明：$\lim\limits_{n\to \infty}x_n$存在，且$0<\lim\limits_{n\to \infty}x_n<2$.

kuing

易证 `f(x)=x` 在 `(1,2)` 上有解，记此解为 `a`，则 $\abs{x_{n+1}-a}=\abs{f(x_n)-f(a)}<0.5\abs{x_n-a}$，所以极限就是 `a`。

APPSYZY

回复 2# kuing

根据kuing给的思路，把它证明了，不知是否可以。