不等式 复数 期望

hbghlyj

设$z_{1}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}$使得$\left|z_{p}\right| \leq 1,p=1, \ldots n.$ 证明：存在$e_{1}, \ldots, e_{n} \in\{-1,1\}$使得$\left|e_{1} z_{1}+\ldots+e_{n} z_{n}\right| \leq \sqrt{2} $

kuing

曾经撸过三元的（而且条件有丁点不同）：forum.php?mod=viewthread&tid=5323
不知有没有参考价值……

hbghlyj

回复 2# kuing
可以用这个归纳证明n为奇数的情形最大值为1如下
设n-2(n≥5)时命题成立,对$z_{n-2},z_{n-1},z_n$使用三元情形得到$az_{n-2}+bz_{n-1}+cz_n$
对$z_1,z_2,\ldots,z_{n-3}$,$az_{n-2}+bz_{n-1}+cz_n$使用n-2元情形

kuing

回复 3# hbghlyj

但是三元时最大值为 1 只是对条件为 `|z_p|=1` 时成立，`|z_p|\le1` 的话是不成立的

hbghlyj

回复 4# kuing
没有懂您能否举一个反例

kuing

回复 5# hbghlyj

`z_1=0, z_2=1, z_3=i`，这时恒有 `|az_1+bz_2+cz_3|=\sqrt2`
所以对于条件为 `|z_p|\le1` 的，三元的结论也是需要 `\sqrt2`，那样就归纳不了了。
而对于条件为 `|z_p|=1` 的，同样也归纳不了，因为未必有模为 1 的 `az_{n-2}+bz_{n-1}+cz_n`。