$g(x)=lnx+\frac{1}{2x}-m$有两个零点的条件

走走看看

$g(x)=lnx+\frac{1}{2x}-m$有两个零点的条件。

这道题很容易求出m＞1-ln2。

$但如何在（0，\frac{1}{2}）上找到一点x0，使得g(x0)>0呢？$

想了半天没辙。

走走看看

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这道题，来自下面题目：
$ (2018•昆明模拟)已知函数f(x)＝lnx－x.$
$(1)判断函数f(x)的单调性；$
$(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋\frac{1}{2x}－m有两个零点x1，x2，且x1<x2，求证：x1＋x2>1.$

一不小心，走进了求零点条件这条路。
进而证明 $f(x2)-f(1-x2)<0，x2＞\frac{1}{2}$
这个证明不难。

这种思路，要先证明g(x)min<0时，确实存在两个零点。右边的容易，左边的难找。

isee

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一种方向：
由$m>1-\ln 2>0.3\Rightarrow \frac 1{10m}<\frac 13<\frac 12$，则
\begin{align*}
g\left(\frac 1{10m}\right)=4m-\ln(10m)>0
\end{align*}

isee

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利用极限方便些$$\ln x+\frac 1{2x}-m=\frac {2x\ln x+1}{2x}-m,$$
x趋向于0时，上式趋向于正无穷。

isee

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这道题，来自下面题目：
$ (2018•昆明模拟)已知函数f(x)＝lnx－x.$
$(1)判断函数f(x)的 ...
走走看看 发表于 2020-8-23 13:22

另外，这种解法是典型的极值点偏移标准手法。

还可以这样解$$\ln {x_1}-\ln {x_2}=\frac {x_1-x_2}{2x_1x_2}\Rightarrow \sqrt{x_1x_2}<\frac {x_1-x_2}{\ln {x_1}-\ln{x_2}}=2x_1x_2<\frac {x_1+x_2}2\Rightarrow x_1+x_2>4x_1x_2>1.$$

isee

与近期的《函数证明，极值点偏移》同质

走走看看

回复 6# isee

谢谢您的指点！

走走看看

回复 5# isee



这里的红色部分，不是基本不等式。请问这是如何推理的？

isee

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论坛里——或者是第一版的老论坛里——曾经有过介绍(可惜似乎链接失效了)：

对数平均值不等式

以上为关键词自行搜索

走走看看

回复 9# isee

谢谢isee！