椭圆的一个定值

力工

请大佬们看看这道题的背景——与调和的关系.
已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$F_1,F_2$,$P,A,B$是椭圆上的点,
且$\vec{PF_1}=x\vec{F_1A}，\vec{PF_2}=x\vec{F_2B}$，求证:$x+y=\frac{2(1+e^2}{1-e^2}$.其中$e$为椭圆的离心率。

kuing

《撸题集》P.517

力工

回复 2# kuing

就出来了。高人啊k哥!

kuing

回复 3# 力工

那里我只撸了稍一般的情形，而且只是证明是定值，并没说定值是多少……

isee

当年我关注的是解析法，因此备了个份，可惜kuing也硬算过，且过程详细，只是当时没备过来，，，一时半会是找不到了，，


《撸题集》P.517 的偏好只是有定值，关注方向不同，因此只算是半成品，虽然可以再次逆拉伸回椭圆，计算也不算大，，，

isee

另外，这一定是非常经典的考试压轴题，在考场上的标准答案偶也非常有兴趣，不知道楼主是否能提供一个上来学习学习？

kuing

回复 6# isee

过焦点是比较简单的，讨论组里 v6 就写了个简单解法，利用焦点弦的性质 1/FP+1/FA=... 两三下搞定

力工

算是可以得出的，怎么能发现这个性质呢？我关心的是调和比

力工

回复 6# isee
这个题的所谓标准解答就是联、韦、代、算，死算到底啊。

kuing

如图，`l_1`, `l_2` 是准线，`P`, `F_1`, `A` 在 `l_1` 上的投影分别为 `P_1`, `K`, `A_1`，`AP_1` 与 `PA_1` 交于 `M`，则
\[\frac{AM}{MP_1}=\frac{AA_1}{PP_1}=\frac{AF_1}{PF_1},\]可见 `M` 在 `F_1K` 上，并且易知其为中点，故
\[F_1M=\frac12\left( \frac{a^2}c-c \right)=\frac{b^2}{2c},\]那么
\[\frac{PF_1}{F_1A}=\frac{PA}{F_1A}-1=\frac{PP_1}{F_1M}-1=\frac{2c}{b^2}PP_1-1,\]同理
\[\frac{PF_2}{F_2B}=\frac{2c}{b^2}PP_2-1,\]相加得
\[\frac{PF_1}{F_1A}+\frac{PF_2}{F_2B}=\frac{2c}{b^2}P_1P_2-2=\frac{4a^2}{b^2}-2=\frac4{1-e^2}-2.\]

isee

回复 10# kuing


这又是第二定义立功了，计算量果然是小多了。

如此一看，任意x轴上一点（非焦点）对应其极线，类同此法。

lemondian

kuing

回复 12# lemondian

嗯，7# 说的就是这个意思。

其实 10# 过程的中间部分也相当于推出了倒数和那性质，绕过了极坐标。

isee

回复 13# kuing

12#与10#际是等价的，12#多走了一步，或者说10#中有$$\frac 1{PP_1}+\frac 1{AA_1}=\frac 1{F_1M}\iff \frac 1{PF_1}+\frac 1{AF_1}=\frac 1{e\dot  F_1M}=\frac 2{ep},$$
此式就是12#的第二行.
===============
原来13#已经说了，以上为详细过程

isee

回复  isee
这个题的所谓标准解答就是联、韦、代、算，死算到底啊。
力工 发表于 2020-8-31 20:33

坚定信心，今天终于算了一下。

isee

回复 8# 力工


不知10#12#是否能满足楼主的要求，至于怎么发现的，就不知道了，其过程的恒等式却是有几何意义的。

isee

借用10#的图，设$PA$直线交$l_1$于$Q$点。





以前还真没注意这个比值可以转化到调和点列上来。

要强调的是，此图中，极点$F_i$的极线是$l_1$，$i=1,2$，从而$$\frac {PF_1}{F_1A}=\frac{PQ}{QA}=\frac{PP_1}{AA_1}$$

这表明点$M$在$F_1K$上且为中点(无穷远点与点$M$调和分割$F_1K$，或者直接相似证明，具体略)，此时直接类同10#处理：化为$PP_1$。

或由

$$\frac 1{PP_1}+\frac 1{AA_1}=\frac 1{F_1M},$$
类同12#处理:两边乘$PP_1$。

设点$F_1(m,0)$，则$l_1:mx/a^2+0\cdot y/b^2=1$，具体可以参考《2020年北京全国1第20题 解几中的定值定点 浅说背景极点极线》11#