$\frac{\sin(kx)}{k(k+\sin(kx))}$是否收敛，有没有闭式表达式

abababa

如题，当$n\to\infty$时，下面极限是否存在，是否有闭式表达？
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{\sin(kx)}{k(k+\sin(kx))}\]

我只能大致估计出范围（$-1<A<\frac{1}{2}$），但因为不单调，证明不了存在，也没能求出闭式解。

zhcosin

回复 1# abababa
\[ \left| \frac{\sin{nx}}{n(n+\sin{nx})} \right| <= \frac{1}{n(n+1)} \]
后者收敛，所以前者也收敛。
至于收敛到多少，俺也不会。

青青子衿

关于敛散性的问题，这道题看起来像2017年南开大学数学分析最后一题