数项级数条件收敛，对应的幂级数一定收敛吗？

abababa

若数项级数$\sum_{n=0}^{\infty}c_n$收敛而$\sum_{n=0}^{\infty}\abs{c_n}$发散，则幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$的收敛半径为$1$。

如果那个幂级数收敛，确实能证明出收敛半径是$1$，但怎么证明那个幂级数收敛？

zhcosin

如果那个幂级数收敛, .....此处忽略..., 但怎么证明那个幂级数收敛?

hbghlyj

Cauchy–Hadamard theorem
对于复数变量$z$的幂级数
$$ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}. $$
上式中$ a,c_{n}\in \mathbb {C} $,
则该级数收敛半径 $R$ 由下式给出：
$$ {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{\frac {1}{n}}{\big )}. $$