QQ空间看到的函数多选题

kuing

刚才刷空间看到 @isee 写了以下题目：

若函数 `f(x)` 的定义域为 `(0,+\infty)`，导函数为 `f'(x)`，满足 `xf'(x)-f(x)=x\ln x`，且 `f(1/e)=1/e`，则（   ）
A. `f'(1/e)=0`
B. `f(x)` 在 `x=1/e` 处取得极大值
C. `0<f(1)<1`
D. `f(x)` 在 `(0,+\infty)` 上单调递增

这题如果不是 C 选项那就是道常规的套路题，所以这里只说 C 的，其他的自行撸。

条件变成
\[\left( \frac{f(x)}x \right)'=\frac{\ln x}x,\]有高数基础的话可以算右边的积分，是可以求出来的，这里我也不写了，当作求不出，由于无需求 `f(1)` 的值，只是划个大致范围，可以考虑放缩，因为
\[
\frac{f(1)}1-\frac{f(1/e)}{1/e}=\int_{1/e}^1\frac{\ln x}x\rmd x
\riff
f(1)=1+\int_{1/e}^1\frac{\ln x}x\rmd x,
\]当 `x\in(1/e,1)` 时有
\[
0>\frac{\ln x}x>\frac{-1}x
\riff
0>\int_{1/e}^1\frac{\ln x}x\rmd x>\int_{1/e}^1\frac{-1}x\rmd x=-1,
\]从而 `0<f(1)<1`。

这有可能是命题者的想法……

isee

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这个整体构造实在是厉害之极！学习了，你这样写还真是情理之中，不等式绝了！

isee

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